多項式の問題です。

質問

多項式の問題です。

xの多項式4x^3-2x^2-9x+7をxの多項式Aで割ると、その商がBで余りがx+1となる。また、AとBの和は2x^2+4x-5である。このとき、AとBを求めよ。

という問題なのですが、解答には、

A=2x^2+2x-2　B=2x-3
[題意から、Aは2次式、Bは1次式である。
AB=2(2x+3)(x^2+x-1),
A+B=2x^2+4x-5]

と書いてありました。
どうしてAが2次式で、Bが1次式と言えるのですか？逆ではいけないのですか？
申し訳ありませんが回答よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「Aで割ると余りがx+1」から、(Aの次数)＞(x+1の次数)。
「4x^3-2x^2-9x+7をAで割るとその商がB」から、
(4x^3-2x^2-9x+7の次数)＝(Aの次数)＋(Bの次数)。

以上を満たす次数の組み合わせは、
(Aの次数)＝２、(Bの次数)＝１ か、
(Aの次数)＝３、(Bの次数)＝０ かの、どちらか。

AとBの和が２次になるのは、そのうちの…

お礼

なるほど！解決しました！！
回答大変ありがとうございました＾＾

回答No.4

alice_44

＞ どうしてAが2次式で、Bが1次式と言えるのですか？
＞ 逆ではいけないのですか？

…という疑問点が解決したら、
ついでに、答えも求めてしまおう。

(割られる式)＝(割る式)×(商)＋(余り) の関係より
4x^3-2x^2-9x+7 = AB + (x+1) であって、しかも

No.2 のようにして、Aは2次式，Bは1次式と分るから、

要するに、AB = (4x^3-2x^2-9x+7) - (x+1) の
右辺を2次式と1次式の積に分解する問題である。

右辺を素因数分解して、
右辺 = 4x^3-2x^2-8x+6 = 2(2x-3)(x^2+x-1) となる。
x^2+x-1 は実数係数の範囲ではこれ以上分解できない
ことが有難く、この後の手間がずいぶん減る。

2(2x+3)(x^2+x-1) を2次式と1次式の積に分解すると、
A = 2(x^2+x-1), B = (2x-3) と
A = (x^2+x-1), B = 2(2x-3) の２通りが有り得るが、
和が A+B = 2x^2+4x-5 となるのは、
A = 2(x^2+x-1), B = (2x-3) のほうだけである。

回答No.3

noname#112109

題意より，Aは2次式，Bは1次式と断定できる。A＝ax^2＋bx＋c，B＝dx＋eとおくと，
4x^3-2x^2-9x+7＝(ax^2＋bx＋c)(dx＋e)＋(x+1)
　　　　　　　　＝adx^3＋(ae＋bd)x^2＋(be＋cd＋1)x＋(ce＋1)
両辺の係数を比較して，
ad＝4……(1),ae＋bd＝－2……(2),be＋cd＋1＝－9……(3),ce＋1＝7……(4)
(3)よりbe＋cd＝－10……(3)'，(4)よりce＝6……(4)'
また，A＋B＝ax^2＋(b＋d)x＋(c＋e)＝2x^2+4x-5より，両辺の係数を比較して，
a＝2……(5)，b＋d＝4……(6)，c＋e＝－5……(7)
(5)を(1)に代入して，d＝2……(8)
(8)を(6)に代入して，b＝2……(9)
(5)，(8)，(9)を(2)に代入して，e＝－3……(10)
(10)を(4)'または(7)に代入して，c＝－2
ここでbe＋cd＝2×(－3)＋(－2)×2＝－10　これは(3)'を満たす。
したがってa＝2,b＝2,c＝－2,d＝2,e＝－3
よってA＝2x^2＋2x－2，B＝2x－3

回答No.1

torus

ある多項式を多項式Aで割った余りの次数は、多項式Aの次数より小さくなります。
つまり、「多項式Aの次数」＞「余り x + 1 の次数」
というわけで、Aが1次式ということはありえません。