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数学II、多項式の割り算のあまり
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多項式Ｐ(x)を(x-1)^2で割った商をさらに(x+2)で割るとどうなるかを考えれば分かりやすいでしょう。 １次式で割った余りは定数項ですから、それをaとすると、 Ｐ(x)=(x-1)^2{(x+2)Ｑ(x)+a}+4x-5 =(x+2)(x-1)^2Ｑ(x)+ax^2-(2a-4)x+a-5 aが分かれば、(x+2)(x-1)^2で割った余りが分かります。 aは、Ｐ(-2)=-4 から分かります。
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- mister_moonlight
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高2のこの時期なら、微分は習ってるだろう。 関数：f(x)が(x-a)＾2で割り切れるなら、f(a)＝f´(a)＝0 が成立する。この証明が分からなければ検索したら良い。 他にも方法があるが、微分が分かりやすいだろう。 ＞Ｐ(x)を(x+2)*(x-1)＾2 で割ったときの余りを求めなさい これが一番面倒だろうから、これを解いとく。 Ｐ(x)＝(x-1)＾2*Ａ(x)＋4x-5＝(x-1)＾2*Ｂ(x)-4 とする。 (x+2)*(x-1)＾2で割った余りは、2次た゛から ax＾2+bx+cと置ける。 従って、Ｐ(x)＝(x+2)*(x-1)＾2*Ｃ(x)＋ax＾2+bx+c であるから、f(x)＝Ｐ(x)-(ax＾2+bx+c)＝(x+2)*(x-1)＾2*Ｃ(x)である。これは、(x+2)*(x-1)＾2 で割り切れる事を示している。 つまり、f(1)＝f(-2)＝f´(1)＝0が成立する。 f(1)＝Ｐ(1)-(a+b+c)＝-1-(a+b+c)＝0 ‥‥(1)、f(-2)＝Ｐ(-2)-(a+b+c)＝-4-(4a-2b+c)＝0 ‥‥(2)。 f´(1)＝0から、f´(1)＝Ｐ´(1)-(2a+b)＝4-(2a+b)＝0‥‥(3)。何故なら、Ｐ´(1)＝4. (注)Ｐ(x)＝(x-1)＾2*Ａ(x)＋4x-5＝(x-1)＾2*Ｂ(x)-4 の両辺を微分すると分かるだろう。 (1)～(3)を連立すると (a、b、c)＝(1、2、-4)だから、求める余りは x＾2+2x-4.
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
それぞれで割ったときの余りを適切に仮定して, 「与えられた条件にあてはまる」ということを表す式をたてる. とはいえ, x-1 で割った余りがわからないってのはちょっと.... 整数におきかえると 25 を 3^2 で割った余りは 7 である. 25 を 3 で割った余りはいくらか というのとほぼ同レベルなので, さくっと答えてほしい.
１１を３²で割ると２余り、５でわると１余る。 このように自分で数値を適当に置き換えて、公式を作ればいい。
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補足
おっしゃる通り、自分で公式を質問する前から作っていました。 ただ、問題は公式を作ってからが分からないのです。