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数学II 多項式の割り算
数学II 多項式の割り算 nを自然数とし、多項式fn(x)=Σ[k=0→n-1]x^kと定める。 x^2010をfn(x)で割るとき、余りが1となるnはいくつあるか。 という問題があります。 どうやって解いていいかわかりません。 とりあえず、自分の考えを載せておきます。これでできませんか? ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ mod fn(x)において、 (x-1)fn(x)=x^n-1より、x^n≡1 ゆえに、x^2010=(x^n)^m(mは自然数)とすると、 x^2010≡1となればよい。 2010=2*3*5*67なので、2010の約数の数は、2*2*2*2=16個 nも2010の約数の時、x^2010≡1となる。（ただし、f1(x)は定数のため、余りは0） したがって、題意をみたすnは、16-1=15個 となりました。 解答がなく、しかも正解の値が分からないので、このやり方でやっていけるのかどうかすらわかりません。 nに適当な値を代入していくと、なんだか矛盾してくる気がしてなりません。 特に、mが自然数と決めつけてしまったところもやや怪しい気がします。 誰か教えてください！
- c2hao3s
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たしかに「n が 2010 の約数であれば x^2010 ≡ 1 mod fn」が言えています。 しかし、その逆はまだ言えていないように思われますが、どうですか？
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