数学II 多項式の割り算

質問

数学II　多項式の割り算

nを自然数とし、多項式fn(x)=Σ[k=0→n-1]x^kと定める。
x^2010をfn(x)で割るとき、余りが1となるnはいくつあるか。

という問題があります。
どうやって解いていいかわかりません。

とりあえず、自分の考えを載せておきます。これでできませんか?

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mod fn(x)において、
(x-1)fn(x)=x^n-1より、x^n≡1

ゆえに、x^2010=(x^n)^m(mは自然数)とすると、
x^2010≡1となればよい。
2010=2*3*5*67なので、2010の約数の数は、2*2*2*2=16個
nも2010の約数の時、x^2010≡1となる。（ただし、f1(x)は定数のため、余りは0）
したがって、題意をみたすnは、16-1=15個

となりました。
解答がなく、しかも正解の値が分からないので、このやり方でやっていけるのかどうかすらわかりません。

nに適当な値を代入していくと、なんだか矛盾してくる気がしてなりません。
特に、mが自然数と決めつけてしまったところもやや怪しい気がします。

誰か教えてください！

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

たしかに「n が 2010 の約数であれば x^2010 ≡ 1 mod fn」が言えています。
しかし、その逆はまだ言えていないように思われますが、どうですか？

お礼

そうでした（汗）

他の開放でやったところ、なんとか１日悩んで自力で解を見つけることができました。

回答ありがとうございました。