数学の問題について

質問

数学の問題について

(1)x∈N、x≠3とする。このときx^3-3はx-3で割り切れるという。xの値を求めよ。

(2)641=5^4+2^4=5*2^7+1に注意して、2^32+1は641の倍数であることを示せ。

(3)n∈Nとする。このとき"9^(n+1)≡8n+9(mod64)"ということを示せ。

(1)はxに自然数を当てはめて複数の数を出したのですが途中経過がまるきり分からなく、答えも自信がないです。
一応x=1,2,4,5,6,7,9,15,27までは出したのですが・・・

どれか1つだけでもいいのでわかる方お願いします。

回答No.4

tksmsysh · ベストアンサー

(3)です。数学的帰納法で解きました。

「n∈N⇒9^(n+1)≡8n+9(mod64)」
⇔「任意の自然数nにおいて,9^(n+1)-8n-9は64で割り切れることを示せ.」

n=1のとき
9^(n+1)-8n-9=81-8-9=64
よって,n=1では成り立つ.

n=kのとき成り立つと仮定すると,
9^(k+1)-8k-9=64m (m∈N)　…(i)
と表せる.
n=k+1のときを考えると,
9^(k+2)-8(k+1)-9
=9*9(k+1)-8k-17
=9(64m+8k+9)-8k-17 ((i)を使った)
=64(9m+k+1)
よって,n=k+1のときも成り立つ.
以上より,9^(n+1)≡8n+9(mod64)は示された.

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

ffelix

(2)です。
641=5^4+2^4　　この両辺に2^28をかけて
641*2^28=5^4*2^28+2^32
641*2^28=(5*2^7)^4+2^32
641*2^28=(5*2^7)^4-1+2^32+1　　右辺の前2項を因数分解して
641*2^28={(5*2^7)^2+1}{(5*2^7)^2-1}+2^32+1　　さらに2番目の中括弧を因数分解して
641*2^28={(5*2^7)^2+1}(5*2^7+1)(5*2^7-1)+2^32+1　　ここで(5*2^7+1)=641だから
641*2^28={(5*2^7)^2+1}*641*(5*2^7-1)+2^32+1
641*2^28-{(5*2^7)^2+1}*641*(5*2^7-1)=2^32+1
641[2^28-{(5*2^7)^2+1}(5*2^7-1)]=2^32+1

慣れない問題をやってみたというレベルです。
まったく見当違いかもしれませんが、もしご参考になればと思って一応書いてみました。

お礼

回答ありがとうございます。
なんとか解けそうです。

回答No.2

noname#107596

＃１の方のを訂正。

＞ｘ^3　－　３　＝　（ａ＋３）^3　－　３
＞　＝　ａ^3　＋　３ａ^2　＋　３ａ　＋　９　－　３

の2行目からは
=a^3 + 9a^2 + 27a +27 -3
=a(a^2 + 9a +27) + 24
なのでaが24の約数(±1,2,3,4,6,8,12,24)であればよい。

a=x-3としなければ、

x^3-3
=(x-3)(x^2 +3x +9)+24
となり、これでも解けます。

お礼

理解できました。
回答ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

（１）だけ。

ｘ－３　＝　ａ　と置く。
ｘ^3　－　３　＝　（ａ＋３）^3　－　３
　＝　ａ^3　＋　３ａ^2　＋　３ａ　＋　９　－　３
　＝　ａ^3　＋　３ａ^2　＋　３ａ　＋　６
　＝　ａ（ａ^2　＋　３ａ　＋　３）　＋　６

これをａで割れば、
ａ^2　＋　３ａ　＋　３　＋　６／ａ

よって、ａ（＝ｘ－３）は６の約数でなければならない。

お礼

回答ありがとうございます。