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数学的帰納法の問題 数B
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一般的な数学的帰納法ではないですが、次のことを示す証明法も数学的帰納法です。 ・n=1のとき成り立つ。 ・n=1,2,・・・,kのとき成り立てば、n=k+1のときも成り立つ。 問題の(2)は、n=1,2,・・・,kのとき与式が自然数であると仮定すると、 (1)式でn=k-1,x=1+√2,y=1-√2と置けば、x+yもxyもx^k+y^kもx^(k-1)+y^(k-1)も自然数であることから、x^(k+1)+y^(k+1)も自然数となります。
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- Willyt
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(1)は右辺をバラしていけば簡単に左辺が得られますよね。問題は(2)です。まず、n=1のときには吉敷は2となりますから自然数です。次に(1+√2)^n+(1-√2)^nが自然数であるとし、(1+√2)^(n+1)+(1-√2)^(n+1) が自然数となればいいのです。それにはこれを(1)式でx=1 y=√2 を代入した式を使って変形していけば簡単に自然数であることが分かります。これで証明終わりです。
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お礼
↑すいません、これ無し 解けました、ありがとうございました^^
補足
>(1)式でx=1 y=√2 を代入した式を使って変形 x=1+√2 y=1-√2 でもいいでしょうか?