数Ｂ 数学的帰納法

質問

ｎは自然数とする。数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。
1+4+7+・・・・+(3n-2)=1/2n(3n-1)・・・・Ａ

という問題でn=kのときＡが成り立つと仮定すると
　　1+4+7+・・・・+(3k-2)=1/2k(3k-1)である。この式に3(k+1)-2を加えると...とありますが、3(k+1)-2はどのようにして出すのかわからないので教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

＞1+4+7+・・・・+(3n-2)=1/2n(3n-1)・・・・Ａ
1+4+7+・・・・+(3n-2)=n(3n-1)/2
または
1+4+7+・・・・+(3n-2)=(1/2)n(3n-1)
と書いてください。

k項までの和は
1+4+7+・・・・+(3k-2)
この最終項は　3k-2　・・・・(B)
ですね。
k+1項までの和
の最終項はどうなりますか？
(B)のkをk+1で置き換えれば良いですね。
つまり、3(k+1)-2・・・・(C)
が最終項になりませんか！

k項までの和が k(3k-1)/2・・・・(D)
(k+1)項までの和は
(D)に(C)を加えればいいということです。

お礼

よくわかりました。ていねいに教えていただきありがとうございました。

回答No.3

yuppe

この質問に回答しようとしたら、「何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反であり、課題内容を転載しているものは著作権の侵害となりますため質問削除となります。こういった質問対し回答する事も規約違反となりますのでご注意をお願いいたします。」とあったのでこの問題の答えそのものを載せるわけにはいきませんが、アドバイスだけ＾＾

こんばんは。今大学１年生です。帰納法の証明というのは、どんな数字のときでも与式が成り立つと言うことを証明します。つまりn=kのときＡが成り立つと仮定したときn=k+１でも成り立つことを証明すればいいのです。よってＡ式にn=k+１を代入してみてください。そうすれば3(k+1)-2を加えると同じことになります。

パソコンじゃすごく説明しづらいけど、参考になったらうれしいです♪

回答No.2

endlessriver

n=kのときＡが成り立つと仮定すると
　　1+4+7+・・・・+(3k-2)=k(3k-1)/2である

つぎは n=k+1として、１つ項を増やすのですから
最後の　(3k-2)　のつぎは　k→ k+1　として
(3(k+1)-2)
となるのです。すなわち、
1+4+7+・・・・+(3k-2)+(3(k+1)-2)

お礼

わかりました。ありがとうございます。