数学的帰納法の証明2

質問

[問題]
nは4以上の自然数とする。数学的帰納法によって、次の不等式を証明せよ。
　　　　　　　　　　　　　　2ⁿ＞n²－n＋2

この問題の証明の仕方がわかりません。　解法を回答してくださる方　お待ちしております。

ⁿはn乗
&#sup;は2乗のこと

回答No.1

f272 · ベストアンサー

数学的帰納法の証明の仕方は決まっています。
まず，n=4のときに与式が成立することを言います。
2^4>4^2-4+2
次にkを4以上の整数としてn=kのときに成立すると仮定して
2^k>k^2-k+2 ...これを仮定する
n=k+1のときにも成立することを導きます。
2^(k+1)>(k+1)^2-(k+1)+2　...これを導く。

回答No.3

keijyo

その1…n=4のとき、左辺=16、右辺=6で不等号が成立。
その2…n=kのとき、この不等式が成り立つと仮定すると、
2のk乗＞kの2乗-k＋2
その3…(思考)そこで最終的にn=k＋1のときでも成り立つように式を導けばよいので、あらかじめk＋1のときの不等式を書いちゃいましょう。最初の式にn=k＋1を代入して…
2の(k＋1)乗＞(k＋1)の2乗-(k＋1)＋2
その4…それでは(その3式)に近付くように(その2式)を加工しましょう。(その2式)の両辺を2でかけると…
2の(k＋1)乗＞2×kの2乗-2k＋4
その5…(その3式)と(その4式)の左辺がそろいました。これから(その4式)の右辺＞(その3式)の右辺を証明できれば証明終了です。だって、(その4式)は成り立つと仮定してますから、(その3式)の右辺がさらに小さければ、やっぱり不等号が成り立ちますよね。
5＞3、3＞1なら5＞1ですよね。
その6…(その4式)の右辺-(その3式)の右辺=kの2乗-3k＋2=(k-2)(k-1)←kが4以上なら必ず＞0になるので
2の(k＋1)乗＞(k＋1)の2乗-(k＋1)＋2
が成り立ちます。
よって証明できました。
いかがでしょうか。テスト頑張ってください。

回答No.2

kibomasa

2^n>n^2-n+2　…(1)(n>=4)を数学的帰納法により証明する。
(I)n=4のとき
(左辺)=2^4=16
(右辺)=4^2-4+2=16-2=12
よって，(1)は成立する．

(II)n=kのとき(k>=4) (1)が成立すると仮定すると
2^k>k^2-k+2　…(2)が成立する．
ここで，n=k+1のときに成立するかどうかを調べる．
2^(k+1)=2*2^k
>2*(k^2-k+2)　((2)より)
ここで
2*(k^2-k+2)>(k+1)^2-(k+1)+2 を示す．
(左辺)-(右辺)
=k^2-3k+2
=(k-1)(k-2)
>0 （k>=4 なので）
よって
2^(k+1)=2*2^k
>2*(k^2-k+2)
　　　 >(k+1)^2-(k+1)+2
となり，n=k+1 のときも(1)が成立することが証明された．
以上(I)(II)より，
数学的帰納法によって，nが４以上のすべての自然数において
2^n>n^2-n+2
が成立することが証明された．