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数学的帰納法の証明2

[問題] nは4以上の自然数とする。数学的帰納法によって、次の不等式を証明せよ。               2ⁿ>n²-n+2 この問題の証明の仕方がわかりません。 解法を回答してくださる方 お待ちしております。 ⁿはn乗 &#sup;は2乗のこと

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  • f272
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数学的帰納法の証明の仕方は決まっています。 まず,n=4のときに与式が成立することを言います。 2^4>4^2-4+2 次にkを4以上の整数としてn=kのときに成立すると仮定して 2^k>k^2-k+2 ...これを仮定する n=k+1のときにも成立することを導きます。 2^(k+1)>(k+1)^2-(k+1)+2 ...これを導く。

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  • 回答No.3
  • keijyo
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その1…n=4のとき、左辺=16、右辺=6で不等号が成立。 その2…n=kのとき、この不等式が成り立つと仮定すると、 2のk乗>kの2乗-k+2 その3…(思考)そこで最終的にn=k+1のときでも成り立つように式を導けばよいので、あらかじめk+1のときの不等式を書いちゃいましょう。最初の式にn=k+1を代入して… 2の(k+1)乗>(k+1)の2乗-(k+1)+2 その4…それでは(その3式)に近付くように(その2式)を加工しましょう。(その2式)の両辺を2でかけると… 2の(k+1)乗>2×kの2乗-2k+4 その5…(その3式)と(その4式)の左辺がそろいました。これから(その4式)の右辺>(その3式)の右辺を証明できれば証明終了です。だって、(その4式)は成り立つと仮定してますから、(その3式)の右辺がさらに小さければ、やっぱり不等号が成り立ちますよね。 5>3、3>1なら5>1ですよね。 その6…(その4式)の右辺-(その3式)の右辺=kの2乗-3k+2=(k-2)(k-1)←kが4以上なら必ず>0になるので 2の(k+1)乗>(k+1)の2乗-(k+1)+2 が成り立ちます。 よって証明できました。 いかがでしょうか。テスト頑張ってください。

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  • 回答No.2

2^n>n^2-n+2 …(1)(n>=4)を数学的帰納法により証明する。 (I)n=4のとき (左辺)=2^4=16 (右辺)=4^2-4+2=16-2=12 よって,(1)は成立する. (II)n=kのとき(k>=4) (1)が成立すると仮定すると 2^k>k^2-k+2 …(2)が成立する. ここで,n=k+1のときに成立するかどうかを調べる. 2^(k+1)=2*2^k >2*(k^2-k+2) ((2)より) ここで 2*(k^2-k+2)>(k+1)^2-(k+1)+2 を示す. (左辺)-(右辺) =k^2-3k+2 =(k-1)(k-2) >0 (k>=4 なので) よって 2^(k+1)=2*2^k >2*(k^2-k+2)     >(k+1)^2-(k+1)+2 となり,n=k+1 のときも(1)が成立することが証明された. 以上(I)(II)より, 数学的帰納法によって,nが4以上のすべての自然数において 2^n>n^2-n+2 が成立することが証明された.

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