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数学的帰納法の問題

nが2以上の自然数のとき、不等式1+1/2+1/3+…+1/n>2n/n+1が 成り立つことを数学的帰納法で証明せよ という問題なのですが、 n=k+1のとき、1+1/2+…+1/k+1/k+1>2k/k+1+1/k+1                           =2k+1/k+1 までは分かるのですがその次の ここで 2k+1/k+1-2(k+1)/k+2 からが分かりません。 何でこの式になるのかを教えてほしいです(-_-;) よろしくお願いしますm(__)m

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  • 回答No.2

(1+1/2+…+1/k+1/k+1>2k/k+1+1/k+1) の右辺は計算のために このような変形をしているだけでn=k+1の式ではないので、 ここで勘違いをしてませんか? 一応証明をひととおり書いておきます。 (説明のため余計なことを書いたり、省略したりしてあります) 【証明】 i)n=2のとき    (省略)   成り立つ。 ii)n=kのときすなわち    1+1/2+1/3+…+1/k > 2k/(k+1)   のとき成り立つと「仮定する」。   (この時点では上の式が本当に正しいかは分からないが正しいと「仮定」する。)   このときn=k+1すなわち    1+1/2+1/3+…+1/(k+1) > 2(k+1)/((k+1)+1)                             =2(k+1)/(k+2)   が成り立つことを以下で示す。   (こちらの式はまだ正しいか分からない)   n=k+1のときの右辺は    1+1/2+1/3+…+ 1/k + 1/(k+1)   と書ける。これはn=kの右辺に1/(k+1)を足したものである。   そこで、n=kの左辺にも同じ数1/(k+1)を足す。    2k/(k+1)+1/(k+1) = (2k+1)/(k+1)   よって    (1+1/2+…+1/k) + 1/(k+1) > (2k+1)/(k+1)   が得られる。   (n=kの式の両辺に1/(k+1)を足した式。両辺に同じ数字を足しているから大小関係は崩れない)   この得られた式とn=k+1のときの左辺との大小関係を調べるために差をとると    (2k+1)/(k+1) - 2(k+1)/(k+2) = (計算省略) > 0   よって    (2k+1)/(k+1) > 2(k+1)/(k+2)   左辺と合わせて    (1+1/2+…+1/k) + 1/(k+1) > 2(k+1)/(k+2)   が得られる。   よってn=k+1のとき成り立つ。 i、iiが成り立っているからすべてのnについて成り立つ。 【証明終了】

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質問者からのお礼

勘違いしていたみたいです(^_^;) 証明まで書いていただいてとても分かりやすかったです! 回答ありがとうございました♪

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

不等式の右辺=2n/n+1のnにk+1を代入してみて下さい。 次は、2k+1/k+1-2(k+1)/k+2>0を証明するのだと思いますが。。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 代入して証明してみます!

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