数学的帰納法の問題

質問

nが2以上の自然数のとき、不等式1＋1/2＋1/3＋…＋1/n＞2n/n＋1が
成り立つことを数学的帰納法で証明せよ

という問題なのですが、

n=k＋1のとき、1＋1/2＋…＋1/k＋1/k＋1＞2k/k＋1＋1/k＋1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=2k＋1/k＋1

までは分かるのですがその次の

ここで
2k＋1/k＋1-2(k＋1)/k＋2

からが分かりません。

何でこの式になるのかを教えてほしいです(-_-;)

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

d3kk485 · ベストアンサー

（1＋1/2＋…＋1/k＋1/k＋1＞2k/k＋1＋1/k＋1） の右辺は計算のために
このような変形をしているだけでn=k+1の式ではないので、
ここで勘違いをしてませんか？

一応証明をひととおり書いておきます。
（説明のため余計なことを書いたり、省略したりしてあります）

【証明】

i）n=２のとき
　　　(省略)
　　成り立つ。

ii）n=kのときすなわち

　　　1＋1/2＋1/3＋…＋1/k ＞ 2k/(k＋1)

　　のとき成り立つと「仮定する」。
　　(この時点では上の式が本当に正しいかは分からないが正しいと「仮定」する。)
　　このときn=k+1すなわち

　　　1＋1/2＋1/3＋…＋1/(k+1) ＞ 2(k+1)/((k+1)＋1)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=2(k＋1)/(k＋2)

　　が成り立つことを以下で示す。
　　(こちらの式はまだ正しいか分からない)

　　n=k+1のときの右辺は

　　　1＋1/2＋1/3＋…＋ 1/k ＋ 1/(k+1)

　　と書ける。これはn=kの右辺に1/(k+1)を足したものである。
　　そこで、n=kの左辺にも同じ数1/(k+1)を足す。

　　　2k/(k＋1)＋1/(k+1) ＝ (2k＋1)/(k＋1)

　　よって

　　　(1＋1/2＋…＋1/k) ＋ 1/(k＋1) ＞ (2k＋1)/(k＋1)

　　が得られる。
　　(n=kの式の両辺に1/(k+1)を足した式。両辺に同じ数字を足しているから大小関係は崩れない)

　　この得られた式とn=k+1のときの左辺との大小関係を調べるために差をとると

　　　(2k＋1)/(k＋1) - 2(k＋1)/(k＋2) ＝ (計算省略) ＞ ０

　　よって

　　　(2k＋1)/(k＋1) ＞ 2(k＋1)/(k＋2)

　　左辺と合わせて

　　　(1＋1/2＋…＋1/k) ＋ 1/(k＋1) ＞ 2(k＋1)/(k＋2)

　　が得られる。
　　よってn=k+1のとき成り立つ。

i、iiが成り立っているからすべてのｎについて成り立つ。

【証明終了】

お礼

勘違いしていたみたいです(^_^;)
証明まで書いていただいてとても分かりやすかったです!
回答ありがとうございました♪

回答No.1

ferien

不等式の右辺＝2n/n＋1のｎにｋ＋１を代入してみて下さい。
次は、2k＋1/k＋1-2(k＋1)/k＋2＞０を証明するのだと思いますが。。

お礼

回答ありがとうございました。
代入して証明してみます!