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数学的帰納法

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数学的帰納法がわからなくなってしまいました。
だれか、教えてください。

問題

次の等式が成り立つことを、数学的帰納法によって証明せよ。
nが自然数のとき、1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗+1)----(1)


(ⅰ)n=1のとき
   (左)-(右)=1-1=0 よってn=1のとき(1)は成り立つ。

(ⅱ)n=kのとき(1)が成り立つと仮定すると、
    1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ k・(2のk-1乗) = (k-1)・(2のk乗+1)
   n=k+1のとき、
    (左)=1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ k・(2のk乗) 

ここからがわかりません。1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) を、どうやって処理したら良いんでしょう?
やりかたはもうひとつあると思いますが、このやり方でお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

おはよう御座います(^○^)
今、目がさめました。
brogieです。

回答です。
n = k のとき 成立すると仮定、
a) 1・1+2・2+・・・・k・2^(k-1) = Rk とおきます。
b) (k-1)・2^k+1 = Lk とおきます。

仮定から Rk = Lk  です。

n = k + 1 のとき
左辺=1・1+2・2+・・・+k・2^(k-1)+(k+1)・2^k
   =(1・1+2・2+・・・+k・2^(k-1)) + (k+1)・2^k
   =Rk + (k+1)・2^k
   =Lk + (k+1)・2^k
   = ((k-1)・2^k+1) + (k+1)・2^k ← a)式より
   =k・2^k-2^k+1+k・2^k+2^k
   =k・2^k+1+k・2^k
   =2・k・2^k+1
   =k・2^k・2^1+1 ← a^m・a^n = a^(m+n)から次の式へ
   =k・2^(k+1)+1
右辺=k・2^(k+1)+1

故に、n = k + 1 のとき(1)式は成立する。

これで証明終わり。
間違いないと思いますが、確認してください。
お礼コメント
noname#755

おはようございます。
すぐに回答して欲しいといいながら、きのう、すぐに寝てしまいました。
悪い子でした。
ごめんなさいー。

こたえ、初めて見たやり方だったのですが、よくわかりました。
もうすぐ期末テストなんで、あせってたんですが、よかったです。
どうも、ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-24 08:11:29
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  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗+1)----(1) この(1)式は n=1 のとき 右辺は0になります。 2の2乗は 2^2 と書いてください。 右辺=(n-1)・(2のn乗+1)   =(n-1)・(2^n+1) となりますが、これでよろしいのですか? 補足をお願いします。 ...続きを読む
1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗+1)----(1)

この(1)式は
n=1 のとき 右辺は0になります。

2の2乗は 2^2 と書いてください。
右辺=(n-1)・(2のn乗+1)
  =(n-1)・(2^n+1)
となりますが、これでよろしいのですか?
補足をお願いします。
補足コメント
noname#755

はい。わかりましたー。
投稿日時 - 2001-06-24 07:02:03
お礼コメント
noname#755

ありがとうございます・・・。
なーんかそういう書き方があったような。と、思いつつ、
さっぱりおもいだせませんでした。
ごめんなさい。
投稿日時 - 2001-06-24 07:04:42


  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 36% (17/46)

 あのう、  1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗+1)  ではなく、  1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗)+1  じゃないんですか?そうでないとこの問題解けないような・・・・ ...続きを読む
 あのう、
 1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗+1)
 ではなく、
 1・1 + 2・2 + 3・(2の2乗) +・・・・+ n・(2のn-1乗) = (n-1)・(2のn乗)+1
 じゃないんですか?そうでないとこの問題解けないような・・・・
補足コメント
noname#755

はい。そのとおりです。
ごめんなさいーっつ。
おばかさんでした・・・。
投稿日時 - 2001-06-24 07:00:01
お礼コメント
noname#755

ちなみに、
1・1 + 2・2 + 3・2^2 +・・・・+ k・2^(k-1) = (k-1)・2^k+1
でした。
ごめんなさい。
解けませんよねえ。あんなんじゃ。

どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-06-24 07:10:00
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