数学的帰納法

質問

数学的帰納法がわからなくなってしまいました。
だれか、教えてください。

問題

次の等式が成り立つことを、数学的帰納法によって証明せよ。
ｎが自然数のとき、1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　＋・・・・＋　ｎ・（２のｎ－１乗）　＝　（ｎ－１）・（２のｎ乗＋１）----(1)

（ⅰ）ｎ＝１のとき
　　　（左）－（右）＝１－１＝０　よってｎ＝１のとき(1)は成り立つ。

（ⅱ）ｎ＝ｋのとき(1)が成り立つと仮定すると、
　　　　1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　＋・・・・＋　ｋ・（２のｋ－１乗）　＝　（ｋ－１）・（２のｋ乗＋１）
　　　ｎ＝ｋ+１のとき、
　　　　（左）＝1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　＋・・・・＋　ｋ・（２のｋ乗）　

ここからがわかりません。1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　を、どうやって処理したら良いんでしょう?
やりかたはもうひとつあると思いますが、このやり方でお願いします。

回答No.3

brogie · ベストアンサー

おはよう御座います(^○^)
今、目がさめました。
brogieです。

回答です。
n = k　のとき　成立すると仮定、
a) 1・1+2・2+・・・・k・2^(k-1) = Rk　とおきます。
b) (k-1)・2^k+1 = Lk とおきます。

仮定から　Rk = Lk 　です。

n = k + 1　のとき
左辺=1・1+2・2+・・・+k・2^(k-1)+(k+1)・2^k
　　　=(1・1+2・2+・・・+k・2^(k-1)) + (k+1)・2^k
　　　=Rk + (k+1)・2^k
　　　=Lk + (k+1)・2^k
　　　= ((k-1)・2^k+1) + (k+1)・2^k ←　a)式より
　　　=k・2^k-2^k+1+k・2^k+2^k
　　　=k・2^k+1+k・2^k
　　　=2・k・2^k+1
　　　=k・2^k・2^1+1　←　a^m・a^n = a^(m+n)から次の式へ
　　　=k・2^(k+1)+1
右辺=k・2^(k+1)+1

故に、n = k + 1　のとき(1)式は成立する。

これで証明終わり。
間違いないと思いますが、確認してください。

お礼

おはようございます。
すぐに回答して欲しいといいながら、きのう、すぐに寝てしまいました。
悪い子でした。
ごめんなさいー。

こたえ、初めて見たやり方だったのですが、よくわかりました。
もうすぐ期末テストなんで、あせってたんですが、よかったです。
どうも、ありがとうございました。

回答No.2

hiropi-

あのう、
　1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　＋・・・・＋　ｎ・（２のｎ－１乗）　＝　（ｎ－１）・（２のｎ乗＋１）
　ではなく、
　1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　＋・・・・＋　ｎ・（２のｎ－１乗）　＝　（ｎ－１）・（２のｎ乗）＋１
　じゃないんですか？そうでないとこの問題解けないような・・・・

お礼

ちなみに、
1・1 ＋　2・2　＋　3・２＾２　＋・・・・＋　ｋ・２＾（ｋ－１）　＝　（ｋ－１）・２＾ｋ＋１
でした。
ごめんなさい。
解けませんよねえ。あんなんじゃ。

どうもありがとうございました。

補足

はい。そのとおりです。
ごめんなさいーっつ。
おばかさんでした・・・。

回答No.1

brogie

1・1 ＋　2・2　＋　3・（２の２乗）　＋・・・・＋　ｎ・（２のｎ－１乗）　＝　（ｎ－１）・（２のｎ乗＋１）----(1)

この（１）式は
n=1 のとき　右辺は０になります。

２の２乗は　2^2 と書いてください。
右辺＝（ｎ－１）・（２のｎ乗＋１）
　　＝（ｎ－１）・（２＾ｎ＋１）
となりますが、これでよろしいのですか？
補足をお願いします。

お礼

ありがとうございます・・・。
なーんかそういう書き方があったような。と、思いつつ、
さっぱりおもいだせませんでした。
ごめんなさい。

補足

はい。わかりましたー。