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【数学B】数学的帰納法について

n=1の時に自然数nを含む等式(A)が成り立ち(…(1))、 n=kの時に(A)が成り立つと仮定するとn=k+1の時も(A)が成り立つ(…(2))。 ということを示すのが数学的帰納法なんですよね。 ここで質問があります。 なぜ(2)を示すだけでは(A)が成り立つと結論できないのですか? kが任意の自然数ならわざわざ(1)を示す必要は無いと思うのですが…。 念のためってことでしょうか?

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  • 回答No.2
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

風が吹けば桶屋が儲かるけれど、今風が吹いてないから桶屋は今儲かってない …という話です。 例えば、(A) 任意の自然数 n について、n!=0 を示してみましょう。(n! は n の階乗) n=k のときに (A) が成り立つとすると、k!=0 だから (k+1)!=(k+1)(k!)=0 です。 めでたく、n=k+1 のときも (A) が成り立つことが示せました。 …あれ?変ですね。何で、こんなことが起こったのでしょう? 1!=1 ですから、n=1 のとき n!=0 は成り立たないのでした。 最初の一枚を倒さないと、ドミノは倒れないんですよ。 だから、n=1 の場合は必要なんです。

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質問者からのお礼

(1)が成り立たないことってあるのかなーという疑惑が私の疑問に繋がったのだと思います。 具体的な例ですね、合点がいきました。 ありがとうございました。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

3段論法にならないからです。 ドラゴンボールの悟空がスーパーサイヤ人3になれることを証明するちょっと乱暴な例を考えます。 (2)が示しているのは帰納段階と呼ばれるもので、自然数nに関して相対的な関係を示しています。 したがって、(2)だけ示しても、「スーパーサイヤ人n はスーパーサイヤ人n+1になれるよ」って言っているだけです。 悟空がそもそも普通の地球人だとスーパーサイヤ人3にはなれません。 悟空がスーパーサイヤ人3になれることを言うには、そもそも「悟空がスーパーサイヤ人(1)である」ことも言わないといけないからです。 「悟空はスーパーサイヤ人(1)である」 「スーパーサイヤ人nはスーパーサイヤ人n+1になれる」 ゆえに 「悟空はスーパーサイヤ人3になれる」 のです。 かなり乱暴な説明ですが、直感的にはそんな感じです。

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質問者からのお礼

つまり(2)は仕組みを証明しただけで、それが実際に機能するかは(1)によるということですね。 身近でわかりやすいです、ありがとうございました。

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