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数学的帰納法

数学的帰納法の、証明の過程において、よくわからないところがあります。回答よろしくお願いします。 例えば、次のような問題。 「nが5以上の自然数のとき、2^n>n^2(・・・A)を証明せよ。」 (1)n=5のときAは成り立つ。 (2)kを5以上の自然数として、n=kのときAが成り立つと仮定すると、n=k+1のときにAが成り立つ。 (1)、(2)より与命題は証明できた。 この証明では、2^k>k^2を用いて、ちょっと計算をすることによって2^(k+1)>(k+1)^2を導いて、n=k+1のときにAが成り立つことを言いますよね。でも僕は、5以上の全ての自然数kについて2^k>k^2を仮定した時点で、何の計算も必要なしに2^(k+1)>(k+1)^2が言えると思います。なぜなら、例えばk=5とすると、k+1=6となりますが、kに当てはまる値の条件と2^k>k^2より、2^6>6^2も言える、つまり、k+1に当てはまる数はすべてkに当てはまるからです。 僕の考えの間違いを教えてください。

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質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • Tacosan
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2 の方は「5 以上の『全ての』k に対して仮定してる」わけじゃないんだよね. 5以上の「ある」k に対して 2^k > k^2 を仮定して, 2^(k+1) > (k+1)^2 になることを証明するわけ.

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。非常にわかりやすかったです。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3

2^n>n^2 が成立する全ての自然数の集合をAとします。 (1)で言っているのは 「5∈A」(5は集合Aの元である) (2)で言っているのは 「k∈A ならば k+1∈A」を証明できる (3)で言っているのは、「(1)かつ(2)ならば5以上の全ての自然数は集合Aの元である」、ということ。つまり、5以上の全ての自然数で 2^n>n^2 が成立する。 (2)で仮定していることは、「k≧5を満たす任意の自然数がAの元である」ということではなく、単純に「kがAの元ならば」ということです。 ・ 1∈A ・ k∈Aならばk+1∈A の両方が成立するならば、Aは自然数全体の集合 というのがよくある流れですよね。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。非常にわかりやすくて助かりました。おかげさまで理解できたように思います。

  • 回答No.2

 たしかに、「5以上の全ての自然数kについて2^k>k^2」であることが《証明》できれば、質問者さんの言われるとおりだと思います。  しかし、数学的帰納法では、n=kのときについては《証明》しているのではなく、単に《仮定》しているだけです。ここでn=k+1について言及しなければ、どこまでも《仮定》の範囲を出ず何も示していません。つまり、正しいと《仮定》しているから正しいんだという、駄々っ子のような理屈になってしまいます。  なので、数学的帰納法を利用する訳です。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。おっしゃっていることはわかるのですが、Mr_Hollandさんの回答がなぜ僕の質問への回答になるのかがわかりません。補足で説明をお願いしてよろしいでしょうか?

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