数学的帰納法の問題

質問

帰納法の問題を教えてください。

すべての自然数ｎについて、ｎ＾３＋5ｎは６の倍数であることを数学的帰納法
によって証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

1)n=1のとき

n^3+5n=6

これは６の倍数である。

2)n>1である、あるnについて

ｎ＾３＋5ｎは６の倍数であることを仮定。すなわち

n^3+5n=6m (mは整数)　　（1）

3)n+1のとき

P=(n+1)^3+5(n+1)

が6の倍数であることを言えばよい。

P=(n+1)^3+5(n+1)=n^3+5n+6+3n^2+3n

(1)を用いて

P=6m+6+3n(n+1)

nが偶数のとき3n(n+1)は６の倍数

nが奇数のとき(n+1)が偶数になるので3n(n+1)は６の倍数

以上よりPは６の倍数になる。

1)~3)から数学的帰納法によって、すべての自然数ｎについて、ｎ＾３＋5ｎは

６の倍数であることが証明された。