• ベストアンサー
  • 困ってます

数学的帰納法の問題です

数学的帰納法の問題です すべての自然数a,bに対して、a+b≠aが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しろ この問題で困っています。あまりにも当たり前なことなので、例えばn=1の時正しいという形をどのように説明するかが分かりません。あとa,bと2つの自然数があり、その2つをどのように扱うかも分かりません。例えば、a=1の時1+b≠1となりますが、これは正しいと言えるのかどうか。そもそもこのように解いていくのかどうかも疑問です。 ぜひこの証明の方法を教えてください。よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4
  • funoe
  • ベストアンサー率46% (222/475)

「命題 自然数a,bについて、a+b≠a を示す。」 えっと、ペアノの公理とか加法の定義を習った直後の演習問題ですよね。 以下、その前提で。。。 あと、加法が可換であること(m+n=n+m)は、証明の中で 定理として利用しますので、それの証明が必要なら、教科書を調べてください。 後継関数はs(n)で表記します。 -- 1)まず「任意の自然数bについて、1+b≠1」 を示す。 1+b =b+1   ・・・・可換だから =s(b)  ・・・・加法の定義 ≠1     ・・・ペアノの公理によって、∀x∈N s(x)≠1 以上より「任意の自然数bについて、1+b≠1」  2)次に、a+b≠a を仮定して、s(a)+b≠s(a)を示す。 s(a)+b =b+s(a)   ・・・可換だから =s(b+a)   ・・・加法の定義 =s(a+b)   ・・・可換だから ここで、a+b≠a と sが単射(ペアノの公理。m≠n⇒s(m)≠s(n))であることから s(a+b)≠s(a) 以上より、s(a)+b≠s(a) 1)と2)から、数学的帰納法によって、  任意の自然数a,bについて、a+b≠a 

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

丁寧に説明していただき、ありがとうございました。参考にさせてもらいます。

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

そもそも、1 + 1 ≠ 1 をどう「証明」すればいいのか? 自然数の定義そのものを考える必要があるでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2
noname#130952
noname#130952

間違えました。 自然数nに関する命題p(n)が、 すべての自然数nに対して成り立つことを証明するには、 次の(I)(II)を証明すればよい。 (I)p(1)が成り立つ。 (II)任意の自然数kに対して、p(k)が成り立つと仮定すれば、p(k+1)も成り立つ。 だそうです。 ちなみに、中学・高校では自然数は正の整数は0を含めないプラスの数と考えてよいでしょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

質問に答えてくださりありがとうございます。

  • 回答No.1
noname#130952
noname#130952

この問題は a+b=a  が成り立たないことを証明すればよいのです。 自然数とは、自然界で通用する数字のことです。 まちがってたら、ごめんね。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法について質問があります。 数学的帰納法の問題で http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method3.htm のnが〇以上(〇には具体的な数値が入ります)のとき 証明せよ の問題の解き方は理解できるのですが考え方に不明な点があります。 __________________________________________________ 数学的帰納法は (I) n=1 のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=k のとき(A)が成り立つことを仮定する. その仮定を使って n=k+1 のとき(A)が成り立つことを証明する. __________________________________________________ とのことですがkは任意に自然数として理解をしていましたがこの考え方をすると、 nが〇以上の時について証明せよ。において (I) n=〇のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=kのとき(k>=〇)(A)が成り立つことを仮定する の(k>=〇)の条件を書く必要があるのかがわかりません。 すなわち、 私が考えているのは、 (I) n=〇のとき証明できたのだから (II) n=kのとき(k>=〇)ではなくn=kのとき(k>=〇+1) と何故書かないのかということに疑問があります。 そのため、 すべての自然数 n について,次の不等式が成り立つことを証明せよ. の問題では、 (I) n=1 のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=k のとき(k>=1)(A)が成り立つことを仮定する. と書かないのか という内容に混乱をしています。 これについて先生に尋ねてみたら すべての自然数において問題は自然数1から必ず行うものだから (k>=1)というのは暗黙の了解である。 だから、書かなくていい といわれました。 この考え方にあまり納得いかないので、わかりやすく解説をしてください。

  • 数学的帰納法の問題です

    数学的帰納法の問題です 任意の自然数a,bについて、 a<b,b<a,a=b のうち、ただ一つが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ ただ一つが成り立つことを数学的帰納法から導くイメージがつかめず、なかなか証明方法が思いつきません。 ぜひこの証明方法を教えてください。よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法の問題

    帰納法の問題を教えてください。 すべての自然数nについて、n^3+5nは6の倍数であることを数学的帰納法 によって証明せよ。 よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法の不等式の問題です

    数学的帰納法の不等式の問題です。 nは自然数とする。不等式 2n が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ n=1のときはわかるのですが、n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときに成り立つことを証明する解き方がわかりません。 教えてください!

  • 数学B 数学的帰納法

    nは自然数とする。数学的帰納法によって、次の等式を証明せよ。 1+10+10^2+・・・+10^n=(1/9){(10^n+1)-1} という問題で、 n=1の時 左辺=1+10=11 となるのはなぜでしょうか? n=1の時は1だと思うんですが…

  • 数学的帰納法

    こんにちは。よろしくお願いいたします。 nを自然数とするとき数学的帰納法を使って証明する問題です 。 1+3+5+・・+(2n-1)=n^2 まず、n=1を代入しますが、 なぜ(2n-1)とn^2の部分しかつかわないのでしょうか。 n^2というのは1+3+5・・+(2n-1)を足したものなのに・・ 教えてください よろしくお願いいたします。

  • 数学的帰納法の証明問題が分かりません

    nが自然数のとき、 1^2+2^2+…+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

  • 【数学B】数学的帰納法 発展問題

    まず、問題を書きます。 /////////////////////////////////////////// 問 nは自然数とする。数学的帰納法によって、次の不等式を証明せよ。 1) 1^2+2^2+3^2+・・・・・・+n^2<(n+1)^3/3 /////////////////////////////////////////// 見にくいですが。 解答を見てみたのですが、何か僕にとって大事なところが抜けていて、何言ってるかわかりませんでした。 帰納法で i)n=1のとき ii)n=kのとき で考えるところまでは分かりますが、n=kでnにkを代入した式を仮定するまでしか駄目でした。 この数学的帰納法の証明方法はいくつかあると思いますが、 一番、簡潔で分かりやすく証明できる方法を教えてください。 お願いします。

  • 数学的帰納法

    数学的帰納法の、証明の過程において、よくわからないところがあります。回答よろしくお願いします。 例えば、次のような問題。 「nが5以上の自然数のとき、2^n>n^2(・・・A)を証明せよ。」 (1)n=5のときAは成り立つ。 (2)kを5以上の自然数として、n=kのときAが成り立つと仮定すると、n=k+1のときにAが成り立つ。 (1)、(2)より与命題は証明できた。 この証明では、2^k>k^2を用いて、ちょっと計算をすることによって2^(k+1)>(k+1)^2を導いて、n=k+1のときにAが成り立つことを言いますよね。でも僕は、5以上の全ての自然数kについて2^k>k^2を仮定した時点で、何の計算も必要なしに2^(k+1)>(k+1)^2が言えると思います。なぜなら、例えばk=5とすると、k+1=6となりますが、kに当てはまる値の条件と2^k>k^2より、2^6>6^2も言える、つまり、k+1に当てはまる数はすべてkに当てはまるからです。 僕の考えの間違いを教えてください。

  • 数学的帰納法って?証明をして下さい!

     次の問題を、どなたか解いて頂けないでしょうか? nは自然数とする。このとき、次式が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ。 1×3+2×4+3×5…+n(n+2)=1/6n(n+1)(2n+7)…命題A  nが1のときに成り立つことは証明できました。n=kのときに命題Aが成り立つと仮定すると、1×3+2×4+3×5…+k(k+2)=1/6k(k+1)(2k+7)…(1)である。n=k+1のとき命題Aの左辺は(1)を用いて、命題Aの左辺=…以下の証明が出来ません。  数学的帰納法について、あまり理解してません。出来れば解説を加えて頂きたいです。よろしくお願いします!(1/6は、6分の1のことです。)