数学的帰納法の問題です

質問

数学的帰納法の問題です

すべての自然数a,bに対して、a+b≠aが成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しろ

この問題で困っています。あまりにも当たり前なことなので、例えばn=1の時正しいという形をどのように説明するかが分かりません。あとa,bと２つの自然数があり、その２つをどのように扱うかも分かりません。例えば、a=1の時1+b≠1となりますが、これは正しいと言えるのかどうか。そもそもこのように解いていくのかどうかも疑問です。

ぜひこの証明の方法を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

funoe · ベストアンサー

「命題　自然数ａ，ｂについて、a+b≠ａ　を示す。」

えっと、ペアノの公理とか加法の定義を習った直後の演習問題ですよね。
以下、その前提で。。。

あと、加法が可換であること（ｍ＋ｎ＝ｎ＋ｍ）は、証明の中で
定理として利用しますので、それの証明が必要なら、教科書を調べてください。

後継関数はｓ(n)で表記します。

－－
1）まず「任意の自然数ｂについて、１＋ｂ≠１」　を示す。
１＋ｂ
＝ｂ＋１　　　・・・・可換だから
＝ｓ（ｂ）　　・・・・加法の定義
≠１　　　　　・・・ペアノの公理によって、∀ｘ∈N　s(x)≠１
以上より「任意の自然数ｂについて、１＋ｂ≠１」　

2)次に、ａ＋ｂ≠ａ　を仮定して、ｓ（ａ）＋ｂ≠ｓ（ａ）を示す。
ｓ（ａ）＋ｂ
＝ｂ＋ｓ（ａ）　　　・・・可換だから
＝ｓ（ｂ＋ａ）　　　・・・加法の定義
＝ｓ（ａ＋ｂ）　　　・・・可換だから

ここで、ａ＋ｂ≠ａ　と　ｓが単射(ペアノの公理。m≠n⇒s(m)≠s(n))であることから
ｓ（ａ＋ｂ）≠ｓ（ａ）
以上より、ｓ（ａ）＋ｂ≠ｓ（ａ）

1)と2)から、数学的帰納法によって、
　任意の自然数ａ，ｂについて、ａ＋ｂ≠ａ

お礼

丁寧に説明していただき、ありがとうございました。参考にさせてもらいます。

回答No.3

koko_u_u

そもそも、1 + 1 ≠ 1 をどう「証明」すればいいのか？
自然数の定義そのものを考える必要があるでしょう。

回答No.2

noname#130952

間違えました。
自然数ｎに関する命題ｐ(ｎ）が、
すべての自然数ｎに対して成り立つことを証明するには、
次の（I）（II）を証明すればよい。
（I）ｐ（1）が成り立つ。
（II）任意の自然数ｋに対して、ｐ（ｋ）が成り立つと仮定すれば、ｐ（ｋ+1）も成り立つ。

だそうです。
ちなみに、中学・高校では自然数は正の整数は０を含めないプラスの数と考えてよいでしょう。

お礼

質問に答えてくださりありがとうございます。

回答No.1

noname#130952

この問題は　a+b=a 　が成り立たないことを証明すればよいのです。

自然数とは、自然界で通用する数字のことです。

まちがってたら、ごめんね。