• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

数学的帰納法

こんにちは。よろしくお願いいたします。 nを自然数とするとき数学的帰納法を使って証明する問題です 。 1+3+5+・・+(2n-1)=n^2 まず、n=1を代入しますが、 なぜ(2n-1)とn^2の部分しかつかわないのでしょうか。 n^2というのは1+3+5・・+(2n-1)を足したものなのに・・ 教えてください よろしくお願いいたします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> 1+3+5+・・+(2n-1)=n^2 > > まず、n=1を代入しますが、 > なぜ(2n-1)とn^2の部分しかつかわないのでしょうか。 > n^2というのは1+3+5・・+(2n-1)を足したものなのに・・ 左辺の「1 + 3 + 5 + ・・ + (2n-1)」についてですが、 これが「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第n項までの和」を表していることは分かりますか? 「1 + 3 + 5 + ・・ + (2n-1)」の中の一番左の1はa_1を表し、 右隣の3はa_2、その右隣の5はa_3、(2n-1)はa_nを表します。 この点さえ理解(あるいは納得)していれば、話は簡単です。 左辺が「数列a_n = (2n-1)の第1項から第n項までの和」なので、 n = 1の時、左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第1項までの和」です。 つまり、左辺 = a_1となります。 ついでに、n = 2の時、 左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第2項までの和」なので 左辺 = a_1 + a_2 = 1 + 3 n = 3の時、 左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第3項までの和」なので 左辺 = (a_1) + (a_2) + (a_3) = 1 + 3 + 5 n = 4の時、 左辺は「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第4項までの和」なので 左辺 = (a_1) + (a_2) + (a_3) + (a_4) = 1 + 3 + 5 + 7 となります。 「n = 2の時、左辺 = 1+3+5+・・+(2×2-1)にならないのはおかしい」と思うかもしれませんが、 先ほども述べたように、左辺が表したいのは「数列a_n = (2n-1)の、第1項から第n項までの和」です。 だから『+5+・・+(2×2-1)』の部分が不要になります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 とっても参考になりました☆

その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • sta14
  • ベストアンサー率33% (2/6)

一般項は a[k]=(2k-1) (k=1,2,…,n) 左辺は S[n]=1+3+5+…+(2n-1)=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[n] n=1のときは S[1]=a[1]

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 とっても参考になりました☆

  • 回答No.2

n=3の時、1+3+(2n-1)=3^2=9です。 n=2の時、1+(2n-1)=2^2=4です。 これは、書き替えると n=3の時、(2(n-2)-1)+(2(n-1)-1)+(2n-1)=3^2=9です。 n=2の時、(2(n-1)-1)+(2n-1)=2^2=4です。 つまり nが3の時、n-2の項、つまり、1から足し始めて、nが3の項まで足す、です。 nが2の時、n-1の項、つまり、1から足し始めて、nが2の項まで足す、です。 では、nが1の時は? nが1の時、nの項、つまり、1から足し始めて、nが1の項まで足す、です。 判り難いかも知れませんが「始めと終りの項が同じ1」なのです。「足し算をスタートした瞬間に終了する」のです。 なので「n=1の時は(2n-1)だけになる」のです。 「帰納法」で証明する場合は「nが1つ少ない式の結果と、2n-1を足した物が、nの式の結果である」のを証明すれば良いですから、以下のようになります。 n=4 ○ ○○○ ○○○○● ○○○○●●● {2(n-3)-1}+{2(n-2)-1}+{2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3+5+7=16 は、 m=3 ○ ○○○ ○○○●● {2(m-2)-1}+{2(m-1)-1}+(2m-1)=1+3+5=9 に ○○○○●●● (2n-1)=7 を足した物です。 n=3 ○ ○○○ ○○○●● {2(n-2)-1}+{2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3+5=9 は m=2 ○ ○○● {2(m-1)-1}+(2m-1)=1+3=4 に ○○○●● (2n-1)=5 を足した物です。 n=2 ○ ○○● {2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3=4 は m=1 ○ (2m-1)=1 に ○○● (2n-1)=3 を足した物です。 n=1 ○ (2n-1)=1 は ○ (2n-1)=1 だけです。始めと終りが同じ1です。 なお、上記の丸の、黒いのを凹んだ部分に移動すると n=4 ○ ○○○ ○○○○● ○○○○●●● {2(n-3)-1}+{2(n-2)-1}+{2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3+5+7=16 ↓ ○●●● ○○○● ○○○○ ○○○○ 4^2=16 n=3 ○ ○○○ ○○○●● {2(m-2)-1}+{2(m-1)-1}+(2m-1)=1+3+5=9 ↓ ○●● ○○○ ○○○ 3^2=9 n=2 ○ ○○● {2(n-1)-1}+(2n-1)=1+3=4 ↓ ○● ○○ 2^2=4 n=1 ○ (2n-1)=1 ↓ ○ 1^2=1 となり「nの2乗」と等しいのは明白です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 とっても参考になりました☆

  • 回答No.1
  • yuu111
  • ベストアンサー率20% (234/1134)

こんにちは n=1のとき、左辺は一番左の「1」しかないですから。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございました。 とっても参考になりました☆

関連するQ&A

  • 【数学B】数学的帰納法 発展問題

    まず、問題を書きます。 /////////////////////////////////////////// 問 nは自然数とする。数学的帰納法によって、次の不等式を証明せよ。 1) 1^2+2^2+3^2+・・・・・・+n^2<(n+1)^3/3 /////////////////////////////////////////// 見にくいですが。 解答を見てみたのですが、何か僕にとって大事なところが抜けていて、何言ってるかわかりませんでした。 帰納法で i)n=1のとき ii)n=kのとき で考えるところまでは分かりますが、n=kでnにkを代入した式を仮定するまでしか駄目でした。 この数学的帰納法の証明方法はいくつかあると思いますが、 一番、簡潔で分かりやすく証明できる方法を教えてください。 お願いします。

  • 数学的帰納法の不等式の問題です

    数学的帰納法の不等式の問題です。 nは自然数とする。不等式 2n が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ n=1のときはわかるのですが、n=kのとき成り立つと仮定してn=k+1のときに成り立つことを証明する解き方がわかりません。 教えてください!

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法について質問があります。 数学的帰納法の問題で http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/inductive_method3.htm のnが〇以上(〇には具体的な数値が入ります)のとき 証明せよ の問題の解き方は理解できるのですが考え方に不明な点があります。 __________________________________________________ 数学的帰納法は (I) n=1 のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=k のとき(A)が成り立つことを仮定する. その仮定を使って n=k+1 のとき(A)が成り立つことを証明する. __________________________________________________ とのことですがkは任意に自然数として理解をしていましたがこの考え方をすると、 nが〇以上の時について証明せよ。において (I) n=〇のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=kのとき(k>=〇)(A)が成り立つことを仮定する の(k>=〇)の条件を書く必要があるのかがわかりません。 すなわち、 私が考えているのは、 (I) n=〇のとき証明できたのだから (II) n=kのとき(k>=〇)ではなくn=kのとき(k>=〇+1) と何故書かないのかということに疑問があります。 そのため、 すべての自然数 n について,次の不等式が成り立つことを証明せよ. の問題では、 (I) n=1 のとき(A)が成り立つことを証明する. (II) n=k のとき(k>=1)(A)が成り立つことを仮定する. と書かないのか という内容に混乱をしています。 これについて先生に尋ねてみたら すべての自然数において問題は自然数1から必ず行うものだから (k>=1)というのは暗黙の了解である。 だから、書かなくていい といわれました。 この考え方にあまり納得いかないので、わかりやすく解説をしてください。

  • 数学的帰納法

    整数nに対して、(n^3)+5nは6の倍数を証明する問題で 数学帰納法を用いると (1) n=1のとき (n^3)+5n=6 6の倍数 (2) kが自然数のとき(k^3)+5k=6A Aは整数とする このときどうしてkのk+1を代入するのですか? 計算をすると (k^3)+5k =(k^3)+5k+3(k^2)+3k+6 =6A+3k(k+1)+6 になりましたが これをどのような意味をもつのか分かりません。 どのように証明するのでしょうか? (3) (n^3)+5nは6の倍数とすると (-n)^3+5(-n)のときやn=0のときもどうして6の倍数になるのか分かりません。

  • 数学B 数学的帰納法

    nは自然数とする。数学的帰納法によって、次の等式を証明せよ。 1+10+10^2+・・・+10^n=(1/9){(10^n+1)-1} という問題で、 n=1の時 左辺=1+10=11 となるのはなぜでしょうか? n=1の時は1だと思うんですが…

  • 数学的帰納法の問題

    帰納法の問題を教えてください。 すべての自然数nについて、n^3+5nは6の倍数であることを数学的帰納法 によって証明せよ。 よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法の証明問題が分かりません

    nが自然数のとき、 1^2+2^2+…+n^2=1/6n(n+1)(2n+1) が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

  • 数学的帰納法おしえてください

    帰納法の問題がわかりません。 (1)自然数nについて、等式1+2x+3x^2+..........+nx^n-1=1-(n+1)x^n+nx^n+1/(1-x)^2 が成り立つことを、数学的帰納法を用いて証明せよ。ただしxは1でないとする。 よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法について

    数学的帰納法の証明問題なんですけど 任意のnに対し  (1+2+3+・・・+n)(1+1/2+1/3+・・・+1/n)≧n**2 が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。 です。よろしくお願いします。

  • 数学的帰納法を用いる証明です。

    ()ばっかで読みにくいかもです。 nを自然数とするとき 1+3+3(2乗)+…+3(n-1乗)=1/2(3(n乗)-1) が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明しなさい。 どなたかお願いします!!