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数学的帰納法について

数学的帰納法の証明問題なんですけど 任意のnに対し  (1+2+3+・・・+n)(1+1/2+1/3+・・・+1/n)≧n**2 が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ。 です。よろしくお願いします。

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  • 回答No.2

taropooさんのでOKですよね。では、ちっとひねた回答をば。 問題: nを、n>0の自然数とする。 S=1+2+...+n T=1/1+1/2+.....+1/n とするとき S T≧n^2 を(数学的帰納法を使って)示せ。 まずは、準備をします。 補助定理1 kがk>0の自然数であるとき、 2k≦2^k 証明:数学的帰納法で証明します。これは簡単だから証明略。 補助定理2 kがk>0の自然数であるとき、 k+1≦2^k 証明:これも簡単ですねえ。 kはk>0の自然数だから 1≦k です。両辺にkを足して k+1≦k+k=2k 一方、補助定理1より 2k≦2^k だから k+1≦2k≦2^k 証明終わり。 さて本題に掛かりましょう。 U=1/1+1/2+1/4+....+1/(2^(n-1)) とおくと、k=1,2,....,n について補助定理1から 2k≦2^k つまり k≦2^(k-1) だから、 1/k≧1/2^(k-1) です。ですから、UとTを項別に比較すれば T≧U 従って、 S T ≧ S U です。だから S U ≧ n^2 を示せば十分ですね。やってみましょ。 S = n(n+1)/2 U = 1+1/2+1/4... +1/2^(n-1) = 2-1/(2^(n-1)) です。(これらもそれぞれ、数学的帰納法で証明されるんじゃないかな。) だから、 SU = (n(n+1)/2)(2-1/(2^(n-1))) = n(n+1)(1-1/(2^n)) が n^2より大きいか小さいかを調べたい。 SU-n^2=(n^2+n)(1-1/(2^n))-n^2=n-(n^2+n)/(2^n))=n(1-(n+1)/(2^n)) ここで補助定理2から n+1≦2^n ですから (n+1)/(2^n)≦1 よって、 1-(n+1)/(2^n)≧0 ゆえに SU-n^2=n(1-(n+1)/(2^n))≧0 となります。 以上から、 S T ≧ S U ≧n^2 証明終わり。

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質問者からのお礼

解答ありがとうございます。 なるほどー、と感心しました。 私ももっと頑張りま~す。

  • 回答No.1
  • taropoo
  • ベストアンサー率33% (34/103)

1+2+…+n = n(n+1)/2なので (1 + 2 + … + k)(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2    …(A) は     n(n+1)/2 * (1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2 すなわち     (1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ 2n/(n+1)    …(B) と書きなおせますので、式変形の途中でこれを使えばいけます。 i) n=1の時 (右辺)= 1 (左辺)= 1 よって(A)を満たす。 ii) n=kで(A)が成り立つ時、仮定より     (1 + 1/2 + … + 1/k) ≧ 2k/(k+1) この時     (1 + 2 + … + k + k+1)(1 + 1/2 + … + 1/k + 1/(k+1))     = (1 + 2 + … + k)(1 + 1/2 + … + 1/k) + (1 + 2 + … + k)/(k+1) + (k+1)(1 + 1/2 + … + 1/k) + (k+1)/(k+1)     ≧ k**2 + k(k+1)/2 / (k+1) + (k+1) * 2k/(k+1) + 1  (3項目は(B)より)     = k**2 + k/2 + 2k + 1     = (k+1)**2 + k/2     > (k+1)**2 よってn=k+1でも(A)を満たす。 以上により     (1 + 2 + … + n)(1 + 1/2 + … + 1/n) ≧ n**2    (等号成立はn=1の時) が示されました。

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質問者からのお礼

分かりやすい解答ありがとうございました。 自分の力で出来るように頑張って勉強します。

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