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補間多項式
「相異なる点、x_0,x_1,・・・・,x_nに対して、任意の実数y_0,y_1,・・・,y_nがある。そのときp_n+1(x_i)=y_i(i=0,1,・・・,n)を満たす高々n+1次の補間多項式p_n+1がただ一つ存在する。」は真か偽を判定する問題です。考えたのですが偽でしょうか？定義は「与えられた関数y=f(x)に対して、相異なる点x_0,・・・,x_n-1（この点を標本点という）について、y_k=f(x_k),k=0,1,・・・,n-1とおく。このとき高々n-1次多項式p(x)としてp(x_k)=y_k,k=0,1,・・・,n-1となるものがある」理由はやはり高々n+1次というところが定義からづれているからです。しかし根拠が示せないので、アドバイスありましたら嬉しいです・・・
- haveagolde
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>n=1の場合の反例みたいなのを挙げて .... ヤッパリ「高々n-1次」ですかね。コロコロ変わりすみません。 以下も、今までの繰り返し。 n=0の場合 p(x_0)=y_0( を満たす 0 次の補間多項式 p_0(x) =y_0 は一意的。 これに、 (x-x_0)*q(x) << q(x) は0次以上の任意多項式 >> を掛けた 1 次以上の多項式を加えた Q(x) = y_0 + (x-x_0)*q(x) も、問題の条件 Q(x_0)=y_0 を満たしている。 例えばQ_1(x) = y_0 + k*(x-x_0)
>相異なる点、x_0,x_1,・・・・,x_nに対して、任意の実数y_0,y_1,・・・,y_nがある。そのときp_n+1(x_i)=y_i(i=0,1,・・・,n)を満たす高々n+1次の補間多項式p_n+1がただ一つ存在する。 >..... どのように偽と示せばよいのでしょうか？ 実際は、 p_n(x_i)=y_i(i=0,1, .... ,n)を満たす高々 n次の補間多項式p_nがただ一つ存在する。 ですね。 でも、高々 n+1次の補間多項式 p_n+1 がただ一つ存在する」とは、どこかが違います。 たとえば、p_n(x_i)=y_i(i=0,1, .... ,n)を満たす高々 n次の補間多項式 p_n(x) に (x-a) を乗じて作った n+1次の多項式 を p_n+1(x) とします。(a は任意の実数) 明らかに、p_n+1(x) はもとの問題の条件を満たしており、無限個存在します。 「高々 n+1次」を n+1次以下(次数≦n+1)と解釈すればのハナシです。
#2 です。 点数を見逃してまして、訂正。 相異なる(n+1)個の点ですね。 「高々n次」が一意的。 それを超えていいのなら、その(n+1)個の点で零になるn次を超える多項式も題意を満たし、非一意的。 ... でした。
お礼
ありがとうございます。でもどのように偽と示せばよいのでしょうか？すいません浅はかで・・・
「高々n+1次の補間多項式」の中で怪しいのが「高々n+1次」。 「高々n-1次」のような気がする。 二つの多項式 P(x)=p(n-1)*x^(n-1)+p(n-2)*x^(n-2)+ ..... +p(1)*x+p(0) Q(x) q(n-1)*x^(n-1)+q(n-2)*x^(n-2)+ ..... +q(1)*x+q(0) がどちらも題意を満たすとすると実は両者が同じ、ということを示せませんか ?
- Tacosan
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下の「定義」の意味が理解できない (日本語もちょっとおかしい気がする) んだけど, それはさておいて: 前者のような多項式が 1つあるとして, 「他にもある」ことを示すのが普通ですね. 任意の (0 でない) 定数 a に対して a(x - x0)(x - x1) ... (x-xn) は n+1 次式だってことに注意.
お礼
ありがとうございます。定義ですか？？ここは写した箇所なんで・・・・どのように偽と示せばよいのでしょうか？よくわかりません。。。
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