ニュートンの補間多項式と差分商の計算について

質問

こんにちは。下のようなプログラムについての質問です。
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program: Main
　(1)integer parameter: n ←9
　 real array: {Xi}0;n , {Yi}0;n , {Ai}0;n
　 integer: j,k,n
　 real: e,h,p
　 h←1.6875/n
　 for; k=0 to n do
　 Xk←k×h
　 Yk←sin(Xk)
　 end for
　(2)call; Coef(n,{Xi},{Yi},{Ai})
　 output; {Ai}
　(3)for; j=0 to 4×n do
　 t←(j×h)/4
　 p←Eval(n,{Xi}(n),{Ai}(n), t)
　 e←| sin(t)-p |
　 output; j,t,p,e
　 end for:
　end proguram Main
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自分で調べた結果、
(1)について、
　Y,Xの点を表に書いて表した。
(2)について、
　Coefというのは、差分商計算（ニュートン補間公式の係数）をしなさいという意味。
(3)について、
　Evalというのは、値を求めること。
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このプログラムについて質問があります。　　　
１つ目は、（２）の差分商の計算は、全て求める必要はありますか？？計算が莫大なので、できるのか不安です。
２つ目は、（３）は、最終的には、[0,1,6875]の範囲にある等間隔の１０個の点についてと３７個の点についてのニュートンの補間多項式p(x)として、sin(x)とP(x)の誤差を求めているとおもいますが、実際の計算がわかりません。アドバイスお願いします。

回答No.3

noname#101087 · ベストアンサー

>「前段でも Yk=sin(Xk) の作表に使用しているはずですね。」ということをもう少し説明していただけないでしょうか？...

program: Main の前段(1)の中で、Yk の表値を入れてますね。
この記述です。
　Yk←sin(Xk)
sin(Xk) は正確な正弦値なのでしょう。
そのためのプログラム・モジュールがどこかにあるはず、ということです。

回答No.2

noname#221368

横から口を出してすいません。5次以上の補間多項式は、やめておくのが無難だと思うのですが・・・。桁落ち誤差のためです。もちろん多倍長でやるならOKですが、倍精度程度では、4次くらいまでと思っていました。

回答No.1

noname#101087

>...（２）の差分商の計算は、全て求める必要はありますか？？計算が莫大なので、できるのか不安です。
>（３）は、最終的には、[0,1,6875]の範囲にある等間隔の１０個の点についてと３７個の点についてのニュートンの補間多項式p(x)として、
>sin(x)とP(x)の誤差を求めているとおもいますが、実際の計算がわかりません。

(2) (n+1)個の点{X0, X1, X2, .... Xn} でフィットさせるには n次の補間多項式を算定する必要があります。
　この例だと、9次多項式を算定せねばなりません。
　小手調べに、もっと次数を下げて試行してみるのも一案ですが... 。

(3) sin(t)=sin(j*h/4) は正確な正弦関数を出してくれるモジュール(サブルーチン)が必要です。
　前段でも Yk=sin(Xk) の作表に使用しているはずですね。
　また、e=|sin(t)-p| のp は、P9(t)=P9(j*h/4) の結果を使うんですよね。
　Eval にデータ(n=9, {Ai}, t) を渡せば結果{P9(t)}をもらえるようになっているのではありませんか?
　(Eval の中身について。補間多項式Pn(X)の次数n・係数セット{Ai}・変数値{X=t} をもらってPn(t)を算定するものだと考えてます)

補足

「前段でも Yk=sin(Xk) の作表に使用しているはずですね。」ということをもう少し説明していただけないでしょうか？？すみません。