高等学校**数学II

質問

こんにちは。高校生女子です。

私の学校は明日テストです(>_<)

◎多項式Ｐを(x＋1)2で割った余りは９であり、(x－1)2で割った余りは１である。
Ｐを(x＋1)2(x－1)2で割った余りを求めよ。

という問題で、Ｐ＝ＡＱ＋Ｒ
などを使い、

a＝２、b＝-４、c＝２、d＝４

というところまでわかったんですが、ここからどうしたらいいかわかりません。
答えは２x3－６x＋５です。

どうやったらこの答えがでますか？
２乗とか３乗とか見にくくてすみません；；

回答No.3

tomokoich · ベストアンサー

まず
P(x)=(x+1)^2(x-1)^2Q(x)+ax^3+bx^2+cx+d
とおきます
(x+1)^2で割った余りが9より
P(-1)=-a+b-c+d=9---(1)
(x-1)^2で割った余りが1より
P(1)=a+b+c+d=1---(2)
(1)-(2)より-2a-2c=8,a+c=-4---(3)
(1)+(2)より2b+2d=10,b+d=5---(4)

また余りax^3+bx^2+cx+dを(x+1)^2=x^2+2x+1で割ると
余りは(3a-2b+c)x+2a-b+dよりこれが9なので
3a-2b+c=0（または2a-b+d=9を使ってもいいです）
(3)よりc=-4-a
3a-2b-4-a=0
2a-2b=4
a-b=2---(5)

同じく余りax^3+bx^2+cx+dを(x-1)^2=x^2-2x+1で割ると
余りは(3a+2b+c)x-2a-b+dよりこれが1なので
3a+2b+c=0（または-2a-b+d=1を使ってもいいです)
(3)より
3a+2b-4-a=0
2a+2b=4
a+b=2---(6)
(5)(6)より
2a=4,a=2
b=0
(3)よりc=-6
(4)よりd=5
よって
a=1,b=0,c=-6,d=5より
2x^3-6x+5

お礼

詳しく回答して下さってありがとうございます。

分かりやすかったです(^O^)

回答No.2

suu-suu

milk215さん、
題意より、P=(x+1)^2・(x-1)^2・Q+ax^3+bx^2+cx+dという式を立てられます。
(Aに相等する部分が4次式ですから、その余りRは3次以下の式となります）

この式全体を(x+1)^2でくくることを考えますと、
P=(x+1)^2・{(x-1)^2・Q+ax-2a+b}+(3a-2b+c)x+2a-b+d
ここにおいて、3a-2b+c=0・・・(1)
2a-b+d=9・・・(2)

同様に式全体を(x-1)^2でくくることを考えますと、
P=(x-1)^2・{(x+1)^2・Q+ax+2a+b}+(3a+2b+c)x-2a-b+d
ここにおいて、3a+2b+c=0・・・(3)
-2a-b+d=1・・・(4)
を得ます。
(1)～(4)までの方程式を解くことにより、
a=2、b=0、c=-6、d=5となり、R=2x^2-6x+5がいえます。

お礼

回答ありがとうございます。

助かりました。

回答No.1

nattocurry

a＝２、b＝-４、c＝２、d＝４

ということですが、問題にはこれらの文字はありません。
あなたが、問題を解くときに、a,b,c,dを使った式を用意したんじゃないですか？
その式は何ですか？

補足

説明不足ですみませんm(__)m

余りはそれぞれ１次以下ということで、
Ｒ＝(x＋1)2(ax＋b)＋９・・・(1)
Ｒ＝(x－1)2(cx＋d)＋１・・・(2)

とおき、

(1)、(2)より
(x＋1)2(ax＋b)＋９＝(x－1)2(cx＋d)＋１

これを展開して、
係数を比較して

a＝c
2a＋b＝ー2c＋d
a＋2b＝c－2d
b＋9＝d＋1

これを解いて、

a＝２、b＝-４、c＝２、d＝４

がでました。

この方法よりわかりやすい方法ってありますか？