因数分解の問題

質問

とある大学の過去問ですがわかりません。

f(x)={g(x)}^2+1・・（Ａ）する。

ここで、g(x)=( x - r1)( x - r2 )( x - r3)・・( x - rN)でr1～ｒＮは整数とします。
いまｆ（ｘ）が多項式に因数分解できないことを証明したいです。

ここで、f(x) = h(x)i(x) の形にできると仮定する（仮定Ｘ）

ｘ＝αのとき、h(x) = 0となるとすると、f(α)＝０・・（Ｂ）となるが、Ａへ代入すると、ｆ（α）＝{g(α)}＾２＋１・・（Ｃ）となる

α＝実数のとき、ＢとＣより矛盾する、これは上記の仮定Ｘが誤りであることに他ならない。

次にα＝虚数のとき、

以下がわかりません。

いま途中までこちらで示しましたが、全く異なる方法の解法でもいいです。誰か教えてください。

回答No.2

DJ-Potato

xの範囲を複素数に拡大した場合、

f(x) = {g(x)}^2 + 1
f(x) = (x-1)^2 + 1
= x^2 - 2x + 1 + 1
= (x-1+i)(x-1-i)

ってな感じに因数分解できちゃいますが。

そして実数の範囲内でも、f(x)は2N次式、つまり偶数次式なので、h(x)とi(x)がともに偶数次式であることを許し、
h(α) = 0またはi(α) = 0を満たすαが存在しない可能性もあるので、この証明法では不充分です。

回答No.1

nag0720

g(x)=x^3　なら、f(x)は因数分解できるけど。