因数定理の応用問題

質問

因数定理の応用問題が解けません。。。

問題は

実数を係数とする2つの整式　f（x）、g（x）がある。
いま、ある実数aに対し、｛f（x）｝＾3－｛g（x）｝＾3　が　（x－a）＾2　で割りきれ、
（x－a）＾3で割り切れないとすれば、　ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）　が　（ｘ－a) で割り切れることを証明せよ。

とゆうものです。
どうしても解けません。
どなたか解ける方いましたらよろしくお願いします(_　_)

回答No.5

Tacosan

そうなんですよね....＞#4.
「f(x)-g(x) が x-a で割り切れる」だけならこんなごてごてした前提は不要で「f(x)^3-g(x)^3 が x-a で割り切れる」だけで十分なんですよね....

回答No.4

mister_moonlight

今頃気が付いた。。。。。ｗ

＞ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）　が　（ｘ－a) で割り切れることを証明せよ。

これ、問題文が違ってないか？
（ｘ－a) で割り切れるではなくて、（x－a）＾2　で割りきれる、の間違いじゃないか？

回答No.3

mister_moonlight

｛f（x）｝＾3－｛g（x）｝＾3 = [f(x) - g(x)][f(x)^2 + f(x) g(x) + g(x)^2] ‥‥(1)から、f(x)^2 + f(x) g(x) + g(x)^2は、f(x) ＝g(x)＝0の時以外は0にならない。
従って、f(a) ＝g(a)＝0 の時、（x-a）を因数に持つ。つまり、f(x)も g(x)も（x-a）を因数に持つ。
しかし、そうすると、(1)は（x-a）＾3で割り切れる事になり、条件に反する。
よって、f(x)^2 + f(x) g(x) + g(x)^2は（x-a）を因数に持つ事は無い。
以上から、｛f（x）｝＾3－｛g（x）｝＾3が（x-a）＾2で割り切れるなら、　ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）は（x-a）＾2で、従って、（x-a）で割り切れる。

回答No.2

Tacosan

あ～, 背理法要らんわ.
概要だけ:
f(x)^3 - g(x)^3 = [f(x) - g(x)][f(x)^2 + f(x) g(x) + g(x)^2] が (x-a)^2 で割り切れるので x=a を代入すると 0. 後ろが 0 かどうかで場合分けして, 0 でないときは自明. 0 のときが問題だけど f(x), g(x) が実数係数の整式でかつ a が実数だから f(a), g(a) はどちらも実数. ところがこのとき f(a)^2 + f(a) g(a) + g(a)^2 = 0 と f(a) = g(a) = 0 が同値で, 結局 f(a) - g(a) = 0.
つまりどっちにしても f(a) - g(a) = 0.
... これでよければ (x-a)^3 で割り切れないという仮定も (x-a)^2 で割り切れることもいらない. なんか忘れてるのかなぁ?

回答No.1

Tacosan

背理法が簡単?

お礼

返答ありがとうございます。

背理法も試してみたのですが、なかなか答えのイメージがわいてきません。。。

大阪大の問題らしいのですが、過去問でも見つけることができませんでした。。。