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因数分解 解説お願いします!
因数分解 解説お願いします! 高1の因数分解です。 (1)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) (2)x^3+3xy+y^3-1 解説が無く、解法の過程だけだったので、 出来るだけ詳しく解説していただけると幸いです。 新入生テストが近いので、よろしくお願いします。
- ku0521vabo
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- info_22_
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>解説が無く、解法の過程だけだったので、 >出来るだけ詳しく解説していただけると幸いです。 解答と解法の過程が手元にあるなら、それを伏せて丸投げしないで、 質問者さんの考えたことを加えて、それを補足に書いてそのどこが分からないのか 具体的にお書きください。 (1) (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) 解答の形が分かっているので aについて整理したら(b-c)が括りだけます。 (b-c)を括りだした、残りの式をbについて整理すれば(a-c)で括りだせます。 (a-c)も括りだした、残りの式をcについて整理すれば(a-b)で括りだせます。 (a-b)を括りだせば、残りの因数が出てきます。 (2) x^3+3xy+y^3-1=(x+y)^3-1-3xy(x+y-1) =(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1}-3xy(x+y-1) =(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1-3xy} =(x+y-1)(x^2+y^2-xy+x+y+1)
- debut
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(1) ・aで整理すると (b-c)a^3-(b^3-c^3)a+b^3c-bc^3 =(b-c)a^3-(b-c)(b^2+bc+c^2)a+bc(b-c)(b+c) ・(b-c)でくくる =(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)} ・後ろの{・・}をbで整理 =(b-c){(c-a)b^2-(ac-c^2)b+a^3-ac^2} =(b-c){(c-a)b^2-(a-c)bc+a(a^2-c^2)} =(b-c){(c-a)b^2+(c-a)bc-a(c-a)(c+a)} ・(c-a)でくくる =(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)} =(b-c)(c-a)(b^2+bc-ac-a^2) ・b^2-a^2、bc-acをそれぞれ分解 =(b-c)(c-a){(b+a)(b-a)+c(b-a)} ・(b-a)でくくる =(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c) (2) x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)なので x^3+y^3+3xy-1 =(x+y)^3-3xy(x+y)+3xy-1 ・ちょっと入れ替え =(x+y)^3-1-3xy(x+y)+3xy ・後ろ2項を-3xyでくくる =(x+y)^3-1-3xy(x+y-1) ・前2項を3乗公式で分解 =(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1}-3xy(x+y-1) ・(x+y-1)でくくる =(x+y-1){(x+y)^2+(x+y)+1-3xy} ・後ろを展開、整理 =(x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1-3xy) =(x+y-1)(x^2-xy+y^2+x+y+1)
- OKXavier
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(1) aで整理して (b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2) =(b-c){a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)} このあと,因数定理をつかう.「新入生テスト」ということは, 高校1年生? 因数定理は無理か? 中括弧の中の式で,a=b とすると,ゼロになるから,(a-b)を因数にもつ. a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c) を(a-b)で割って, 商a^2+ab-(b+c)c 与式=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c) (2) 与式=x^3+y^3+(-1)^3-3xy(-1) と変形して 公式a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) をつかう.
- nag0720
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(1)a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) aの次数で整理して、 a^3(b-c)-a(b^3-c^3)+b^3c-bc^3 =a^3(b-c)-a(b-c)(b^2+bc+c^2)+bc(b-c)(b+c) =(b-c){a^3-a(b^2+bc+c^2)+bc(b+c)} =(b-c){b^2(c-a)+bc(c-a)-a(c-a)(c+a)} =(b-c)(c-a){b^2+bc-a(c+a)} =(b-c)(c-a){c(b-a)+(b-a)(b+a)} =(b-c)(c-a)(b-a)(c+b+a) =-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) 別解として、 a=bとすれば与式=0となるので、(a-b)で割り切れることが分かります。 同様に、(b-c)、(c-a)でも割り切れます。 あとは、与式を(a-b)(b-c)(c-a)で割ってやれば、-(a+b+c)が出てくるはずです。 (2)x^3+3xy+y^3-1 x,yについて対称なので、 s=x+y、t=xyと置くと、 s^3=x^3+3x^2y3xy^2+y^3=x^3+y^3+3st なので、x^3+y^3=s^3-3st 与式=s^3-3st+3t-1 =s^3-1-3st+3t =(s-1)(s^2+s+1)-3t(s-1) =(s-1)(s^2+s+1-3t) =(x+y-1)(x^2+2xy+y^2+x+y+1-3xy) =(x+y-1)(x^2-2xy+y^2+x+y+1)
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