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因数分解の解き方

次の因数分解の解き方がどうしても分かりません。 よかったら解き方を教えてください。 お願いします [1] (x+y)(y+z)(z+x)+xyz [2] (x+1)(x+3)(x+4)(x+6)+8

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  • 回答No.2
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

[1] 3次の対称式なので、因数分解できるとしたら 3変数の基本対象式(x+y+z),(xy+yz+zx),xyz の積で、元の式が3次であることから 3次の組合せとして (x+y+z)(xy+yz+zx) (x+y+z)^3 を因数にもつ因数分解が考えられる。 与式にx^3の項がないことから後者ではない。 従って (x+y)(y+z)(z+x)+xyz=k(x+y+z)(xy+yz+zx) の形に因数分解できる。x^2*yの係数を比較してk=1であることが分かる。 従って、因数分解結果は「(x+y+z)(xy+yz+zx)」となる。 [2] 式の形をよく観察すると 因数定理が使えることが分かる。 (x+1)(x+3)(x+4)(x+6)=-8 となるxをさがすと (-1)(1)(2)(4)=-8となるxは x=-2 (-4)(-2)(-1)(1)=-8となるxはx=-5 従って、因数定理から与式は  (x+2)(x+5) で割り切れる。 与式をばらしら4次式を (x+2)(x+5)=x^2+7x+10 で割ると商が  x^2+7x+8 で余り0。 よって与式=(x+2)(x+5)(x^2+7x+8) と因数分解できる。なお、x^2+7x+8は有理係数の範囲ではこれ以上因数分解できません。  

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  • 回答No.1

携帯からなので誤植あったらごめんなさい。 [1] (x+y)(y+z)(z+x)+xyz =2xyz+x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)+xyz ={xyz+x^2(y+z)}+{xyz+y^2(z+x)}+{xyz+z^2(x+y)} =x(yz+xy+zx)+y(xz+yz+xy)+z(xy+zx+zy) =(x+y+z)(xy+yz+zx) [2] (x+1)(x+3)(x+4)(x+6)+8 =(x+1)(x+6)(x+3)(x+4)+8 (x^2+7x+6)(x^2+7x+12)+8 =(x^2+7x)^2+18(x^2+7x)+80 ={(x^2+7x)+8}{(x^2+7x)+10} (x^2+7x+8)(x^2+7x+10) 両方とも基本問題です。パターンとして覚えてしまいましょう。

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