x^m (mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由について

質問

インターネット等で調べてみたのですが見当たらないので質問です。

『x^m(mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由』とこういった項を含む式の『○○式』等といった呼び方（あれば）を教えてください。

また某pediaを参照すると『f(x)=0という多項式f(x)の次数を-∞と定義する。』とあったのですが、次数が+∞の多項式は存在するのでしょうか？

f(x)=sinxはｘで微分しても、第ｎ次導関数において次数が0にならないためsinxは多項式ではない。と説明しているページも見かけたので正直混乱しています。どなたか教えてください。

回答No.1

Ama430 · ベストアンサー

＞x^m(mはm≦-1を満たす整数)を含む関数f(x)は多項式でない理由

多項式の定義は単項式の有限な和というものが通常です。
xのマイナス乗は単項式の定義(定数・文字の有限積)を満たしていないのでこれを含む数式は多項式と言わないのでしょう。

＞こういった項を含む式の『○○式』等といった呼び方

(多項式)÷(多項式)には「分数式」という呼び方があります。

＞次数が+∞の多項式は存在するのでしょうか？

通常の定義では単項式の有限和ですので、次数も有限です。(定数ゼロのみ特例)

多項式の発展形として「級数」があります。
級数は数列の有限和または無限和です。
単項式と同じ形をしている数列の無限級数に対して、多項式と同様の次数を考えるならば「無限」となります。

しかし、「何のために次数を知るのか」を考えるならば、無限大の次数に意味があるとは思えません。
定数ゼロはゼロでない定数とは扱いを分ける必要がある場面がありますから、これを特別視することには意味があります。

＞sinxは多項式ではない。

微分可能な関数はテイラー展開という方法で多項式による近似値を求めることができます。
微分が有限回しかできない(ゼロになる)関数では、テイラー展開は多項式と同じですが、sinxはそうではない(近似に過ぎない)という意味だと思います。

お礼

数式の専門的な定義は高校内容ではほとんど出てこないので非常に助かりました。質問の一つ一つ丁寧に拾って、分かりやすく回答して頂き有難うございました。