急減少関数に多項式をかけても急減少関数？

質問

f∈S(R)であることを

fが無限回微分可能なR上の関数でかつ
任意の非負整数m、nに対して

| (1+|x|)^m * f^(n) (x) |≦c_{m,n} x∈R

を満たす正数c_{m,n}が存在する

と定義すると、

f∈S(R)かつp(x)が多項式ならばp(x)f(x)∈S(R)であることを示せ

っていう問題で、
ヒントとしてLeibnizの公式を使うとあるのですが
どのようにすればよいのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.1

alkantala · ベストアンサー

F(x)=p(x)f(x)
に対して
| (1+|x|)^m * F^(n) (x) |≦c_{m,n} x∈R
を言えばよい訳で、

まずf(x)が急減少な事と、p(x)が多項式である事から
勝手な m に対して
| (1+|x|)^m * F(x) |≦c_{m,n} x∈R
が言える.
次にLeibnizの公式
(f*g)^(n) = Σ_{k=0}^{n} f^(n-k)*g^(k)
から
F^(n) = Σ_{k=0}^{n} p^(n-k)*f^(k)
だから、f(x)が急減少である事から
| (1+|x|)^m * F^(n)(x) |≦c_{m,n} x∈R
も言える。

大筋こんな感じです。
細部は自分で埋めて下さい。