関数f(ｘ)の連続性について

質問

よろしくお願いします．

たとえば，
関数ｆ(ｘ)が与えられたとします．
その関数は，X=a点の，ある近傍において
連続微分可能(単純のためここでは１回微分可能)とします．
よって，
その近傍においては，元の関数ｆ(ｘ)の点でも連
dｆ(X)/dxに関しても連続ですよね．ここまでは
OKですか？

次に，
この場合，この条件から，
X=a点で，f(a)も連続であると言えるのですか？
ちなみにa点では，連続微分可能ということは言っていません．

しかし，
関数ｆ（x）がaの近傍で定義されていて，
lim｛f(x)｝=f(a)
x→a
ならば，f(x)は，x=aで連続である

と通常の解析本での連続の定義はされているので，

これを表記せねば，連続であるとは言えないのでしょうか？
それとも，表記せずとも，導出されてしまうのでしょうか？

イプシロンデルタの表記法はなじみがないので，
できれば，使うのであれば初心者にも分かりやすいように，どうぞお願いいたします．

回答No.1

KENZOU · ベストアンサー

＞X=a点で，f(a)も連続であると言えるのですか？
え～っと、下準備としてRolleの定理と平均値の定理を確認し、それからご質問の回答に進みましょう。
【Rolleの定理】
f(x)は区間[a,b]で連続、(a,b)で微分可能とする。もしf(a)＝f(b)ならば、区間(a,b)のある点においてf'(X)が０になる点Xが存在する。（注）(a,b)は開区間、[a,b]は閉区間を意味しますね。
[証明]直感的にいきましょう（笑い）。a,b両端で関数の値(y軸の高さ)が等しいことから関数としては
(1)y＝dというx軸に平行な直線か
(2)上あるいは下に凸の関数
となりますね。(1)の場合は区間(a,b)内の全ての点でf'(X)=0を満たしますし、(2)の場合は(a,b)内のある点ｘ＝ξで極値をとる、つまりf'(ξ)＝０となる点ｘ＝ξが存在するということになります。
【平均値の定理】
f(x)は[a,b]において連続、(a,b)において微分可能とすると
　　f(b)－f(a)／(b－a)＝f'(ξ)，a<ξ<b　　(3)
なるξが存在する。
[証明]
　　F(x)＝f(x)－Ax　　(4)
とおいて、F(a)＝F(b)となるように定数Aを決めることができます。つまり
　　F(a)＝f(a)－Aa＝f(b)－Ab＝F(b)
から
　　A＝f(b)－f(a)／(b－a)　　(5)
と求まります。ところでF(a)＝F(b)ですからRolleの定理よりF'(ξ)＝０、a<ξ<b　なるx＝ξが存在することになります。(4)よりF'(x)＝f'(x)－Aとなりますから
　　F'(ξ)＝f'(ξ)－A＝０　(6)
(6)に(5)を代入して整理すると
　　f'(ξ)＝f(b)－f(a)／(b－a)　(7)
となって平均値の定理が証明されました。

＜本論＞
次ぎの定理がご質問の回答になると思いますが、その証明を示しておきます。
[定理]
「f(x)が連続なる区間内の1点ａは別としてａの近傍ではf(x)が微分可能で、lim[x→a]f'(x)＝ｋが存在するならばf'(a)＝ｋ、すなわちａの近傍においてもf(x)は微分可能で、f'(x)は連続である。」
[証明]
区間(a,x)あるいは(x,a)をとり、平均値の定理を適用すると
　f(x)－f(a)／(x－a)＝f'(ξ)，a<ξ<x　or　x<ξ<a　　(8)
となる点x＝ξが必ず存在しますね。x→ａの時、ξ→ａとなりますから、上でのべた仮定によりf'(ξ)→ｋとなります。つまり　lim[x→a]{f(x)－f(a)／(x－a)}＝ｋ即ちf'(a)＝ｋ
以上、駆け足で駆け抜けましたが、この辺の詳しい説明は、高木貞治著「解析概論」に載っていますので（←他にも適当なテキストがあると思うが）、一度図書館でご覧になられてはいかがでしょうか。

お礼

年末年始で，返事できなく申し訳ありませんでした．
ご丁寧に順を追って説明していただき大変分かりました．また，早々，高木貞治を参考させていただきました．どうもありがとうございました．

回答No.2

jmh

ｆ（ｘ）＝ｓｇｎ（ｘ）、つまり、ｘ＜０のとき＝－１、ｘ＝０のとき＝０、ｘ＞０のとき＝＋１、はどうですか？

ｆは、０以外では何回でも微分できますが、０では連続ではありません。ｆ´、ｆ´´、ｆ´´´、…は、０以外の点で定義できて、定値＝０です。ｌｉｍ　ｆ´（ｘ）＝０です。

お礼

微分可能性と連続の定義があいまいだったため，たいへん参考になりました．どうもありがとうございました．