数III・関数f(x)の連続性

質問

こんにちは！数IIIの質問です。

f(x)=x^2cos1/x　　(x≠0)
a (x＝0）

この時、f(x)がx=0で連続になるような定数aの値を求めよ。
という問題です。

0≦lim(x→0)|f(x)|=lim(x→0)|x^2cos1/x|≦lim(x→0)x^2=0
よってlim(x→0)｜f(x)｜=0
∴lim(x→0)f(x)=0
したがって、a=0　□

と、解いていくと解説に書かれてましたが、解答の頭からf(x)に絶対値記号がついている理由がわからないんです。。
問題にはついていなかったのに、なぜ絶対値をつけるのでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

tra_tata · ベストアンサー

確かにとっつきにくいでしょうね。
答えが分かっていて、そこから逆算したら
最初から絶対値をつけて解答を作るでしょうね。

そんなのはなかなか出来ないので、絶対値なしで考えてみてください。
同じ要領で出来ます。

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-1≦cos(1/x)≦1 なので、
両辺にx^2をかけると、
　-x^2≦x^2 cos(1/x)≦x^2

ここで、lim(x→0)(-x^2)=0, lim(x→0)(x^2)=0
つまり不等式の両端は0に収束する。
なので、間に挟まれた、x^2 cos(1/x)も0に収束する。
つまり、a=0
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という感じです。
私は「挟み撃ちの定理」という名前で習いました。

お礼

おぉぉぉぉ！！そういうことだったんですね！
私もはさみうちの定理習いました！
でもまだまだ使いこなせないので要練習ですね（＾_＾；）
ありがとうございます！