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関数が連続
f(x)=lim[n→∞]{x^(n+1) +(x^2 -1)sinax}/(x^n +x^2 -1)がx=1で連続となる条件を求めよ f(x)がx=aで連続⇔lim[x→a±0]f(x)=f(a)だからx=1ではlim[x→1±0]f(x)=f(1)よりsina=1となっているのですが、極限は代入したようなものだからlim[x→1±0]f(x)もf(1)も同じ1になりませんか？何故sinaが出てくるのでしょうか 教えてください！
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「極限は代入したようなもの」と考えてよい条件が「連続」だから、 そうなるように a を定めろ…って問題なんですがね。 lim[n→∞] {x^(n+1) +(x^2 - 1)(sin ax)}/(x^n + x^2 - 1) の計算方法は、|x| と 1 との大小関係で違ってくるので、 x の値で場合分けして計算してしまうと、 x > 1 のとき f(x) = 1、 x = 1 のとき f(x) = 1、 0 < x < 1 のとき f(x) = sin ax。 x ≦ 0 のときの話は x→1 を考えるのには不要。 以上を使って lim[x→1±0] f(x) = f(1) を書き換えると、 そのまま lim[x→1-0] sin ax = 1 という意味なのです。
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