関数が連続

質問

f(x)=lim[n→∞]{x^(n+1) +(x^2 -1)sinax}/(x^n +x^2 -1)がx=1で連続となる条件を求めよ

f(x)がx=aで連続⇔lim[x→a±0]f(x)=f(a)だからx=1ではlim[x→1±0]f(x)=f(1)よりsina=1となっているのですが、極限は代入したようなものだからlim[x→1±0]f(x)もf(1)も同じ1になりませんか？何故sinaが出てくるのでしょうか
教えてください！

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

「極限は代入したようなもの」と考えてよい条件が「連続」だから、
そうなるように a を定めろ…って問題なんですがね。

lim[n→∞] {x^(n+1) +(x^2 - 1)(sin ax)}/(x^n + x^2 - 1)
の計算方法は、|x| と 1 との大小関係で違ってくるので、
x の値で場合分けして計算してしまうと、
x > 1 のとき f(x) = 1、
x = 1 のとき f(x) = 1、
0 < x < 1 のとき f(x) = sin ax。
x ≦ 0 のときの話は x→1 を考えるのには不要。

以上を使って lim[x→1±0] f(x) = f(1) を書き換えると、
そのまま lim[x→1-0] sin ax = 1 という意味なのです。

お礼

わかりました
ありがとうございました！