関数の連続性に関する問題です

質問

関数の連続性に関する問題です

問題は「次の関数がX=0で連続しているか不連続なのか理由を含め答えなさい」でした。
連続なのか不連続なのかの定義はわかっていますがなかなか極限をとったときに混乱してしまいます。
是非とも回答お願いします。

f(x)=1/n+1 (|x|∈[1/n+1,1/n]),0(x=0)

あと

f(x)=xsin1/x(x≠0), 1(x=0)

です。よろしくお願いします。

回答No.1

So_Very_Goo · ベストアンサー

一番目の問題は、意味が分かりません。質問者の教科書に印刷ミスが有るはずです。

二番目の問題の式
　　　　　　　　　x　≠　0　の時、　f(x) = x * sin ( 1 / x )
　　　　　　　　　x　＝　0　の時、　f(x) = 1

二番目の問題の式では、x は 0 付近で f(x)=0 なのに、x=0 の時だけ、突然 f(x)=1 となるので、非連続となります。

　　　　　　　　　　　　　　　sin は常に -1 <= sin <= 1
　　　　　　　　lim x
　　　　　　　　x→0
　　　　　　　　　↓　　　　　　　　　　　　　↓
　lim　f(x)　=　 0　　　　*　　　　 ( -1～1 の有限の値）
x→+0

なので、　lim　f(x)　=　　0
　　　　　x→ +0

同様に、　lim　f(x)　=　　0
　　　　　x→ -0

ですが、　f(0)　=　1

なので、x は 0 付近で f(x)=0 ですが、x=0 の時に突然 f(x)=1 となるから、非連続です。

　　　　　　　　　f(0)
　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　●

　　　　　－－－－○－－－－
　　　　　↑　　　　 ↑　　　　↑
　　　　　x<0　　　x=0　　　0<x

お礼

最初の式は誤植がありました。すいません。ANO.1の方の言うとおりでした。

御丁寧な回答ありがとうございます。
すごくわかりやすかったためベストアンサーにさせていただきます。

回答No.3

nag0720

１番目は、1/(n+1)の意味でしょうね。
そうだとしても、|x|∈[1/(n+1),1/n]はおかしい。
|x|∈(1/(n+1),1/n]　または　|x|∈[1/(n+1),1/n)
でないと多値関数になってしまいます。

どちらにしても、
1/(n+1)≦|x|
なので、
f(x)≦|x|→0　(x→0)

お礼

その通りです。すいません。誤植でした。

御丁寧な回答ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

大学の先生にこの旨をメールしておきました。

回答No.2

vingbing

関数がｘ＝０で連続であるということは、ｘが０にどんどん近づくと、関数の値もどんどんｆ（０）に近づくということで、関数がグラフとしてつながっていることとは関係がない。」ということを理解して、望めばよいのではないでしょうか？

すると、１は連続で、２は不連続ということです。

お礼

理解の不足が混乱を招いていました。
ご回答を参考にして理解を深めていきたいと思います。
ありがとうございました。