- ベストアンサー
関数0^xは0^0=1か
極限値lim[x→+0]0^x が何故 0 になるのか。 0^1=0 は定義から明らかです。 指数法則が成り立つと仮定すると、次のことも証明できます。 m∈N について、0^m=0 n∈N について、0^(1/n)=0 m,n∈N について、0^(m/n)=0 よって、x>0 ならば 0^x=0 なので、極限値も 0 になる、と思います。 ＃多分、指数法則以外に方法は無い。 でも、これは 0^0=0 を意味しません。 a^(r+s)=a^r*a^s は、a=0,r>0,s<0 では意味を持たないので、 どんなに小さな r=m/n について 0^r=0 が証明されても、r>0 である限り、0^0 が計算できないからです。 つまり、関数0^x について、x=0 での値を求める方法は存在しません。 また、0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、 0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。 結局、連続性がないことは、未定義とする理由として不十分で、 「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」 この説明に問題はありますか？
- みんなの回答 （40）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#6の補足 ＞数学は、法則を決めた時、どういう性質が表れるかということが、興味の対象であるとも言えるでしょう。（と個人的に感じています） ＞ある法則を満たすものを、群とか環とか名前を付けて、あるものが群なのかどうかが問題になったりします。 ＞べき乗も同じで、指数法則が成り立つものをそう呼んでいるのです。（と個人的に感じています） これまでの長い長いやりとりを総合すると、この３行にfusem23さんの主張というかポリシーが集約されているような気がします。群とか環でいえばまさにその通りだと思います。なぜ法則などを定めてその概念に名前を付けるかといえば、そのような法則を持つ集合が極めて重要な性質を数多く持ち、研究するに値するからに他なりません。 ここで一旦、べき乗とは何かということを原点に返って考えてみたいと思います。べき乗とはそもそも、例えば３を１０回掛けることを「３×３×３×３×・・・」と書くのが面倒だと考えた人が、「3^10」と書くことを思いついたということに端を発していると思います。この時点ではまだ、べき乗は単なる掛け算の略記に過ぎません。しかしここで、指数が自然数であることに限れば、 (a^r)×(a^s)=a^(r+s) (a^r)÷(a^s)=a^(r-s) ただし、r>s (a^r)^s=a^(r*s) などの法則を持つことに気付きます。では、これらの法則を保ったまま、「aをn回掛ける」という意味を離れてべき乗を拡張するとどうなるだろうか、と考えた人が居たのでしょう。彼は、指数を有理数にまで拡張することに成功します。そして最終的に、無理数も含めた全ての実数への拡張に至るわけです。 歴史的な経緯はおそらくこうだと思いますし、私もこのような順番で指数を学校で習いました。ほとんどの人は、これが指数というものの正体だと思っています。しかし、大学以上の（厳密な）数学は違います。 まず最初に、 微分方程式f'(x)=f(x)、f(0)=1の解をexp(x)とする というところから入り、 exp(x)の逆関数（場合によっては、主値）をlog(x)としたとき、a^b=exp(b×log(a))とする という奇妙な方法で指数を定義します。この定義のどこにも、「aをb回掛ける」などという言葉は現れないし、まさかaをb回掛けるという演算と一致しているなどとは想像もつきません。 と、ここまでは前置きです。この程度のことはfusem23さんもおそらくご存知でしょう。 解析学を進めていくと、あらゆる場面に指数関数が現れ、重要な役割を果たすことに気付きます。このような指数関数は、果たしてどのような性質を持っているという理由で登場するのでしょうか。先に述べた指数法則を満たしているから？ それとも微分しても変わらないという性質を持っているから？ 私は、前者であるとはとても思えません。最も簡単な形の微分方程式の解が指数関数であるからこそ、重要な役割を果たしているのだと思います。 ほとんどの場合、aをb回掛けるという初等的な方法で導入した指数関数も、微分方程式の解として導入した指数関数も、同一視して問題はありません（というより、同一です）。しかし、解析学において指数関数を考えるときには、後者の条件を必要かつ十分に満たしている必要があります。仮にそのように考えたことによって指数法則の一部を満たさなくなったとしても、そんなことは問題ではないのです。 逆に、指数法則を至上のモノとして捉え、何においてもまず優先されるのは指数法則であるという立場を取ったとき、そのような立場から見たべき乗とは、いかなる重要性を持ち、どのように興味深い性質を持つと言えるでしょうか。連続性を捨ててまで、一体何が得られるのでしょうか。今のところ私は、「表記が統一できる」というメリット以外に、0^0を1だか0だか-1だか5だかは知らないけど何かの値に定義することの有用性を感じません。 0^0を定義する／しないは自由です。重要なのは、これを定義したことによって「何が成り立たなくなって」、「何が成り立つようになる」かを吟味していくことだと思います。 #5の補足 ＞0^0 を未定義とする理由として、連続性がないことが言われています。 ＞それが理由として、本当に正しいのかどうかの確認が、今回の質問です。 これにお答えするなら、「連続性が無いと困る人が0^0を未定義としているので、連続性がないのが理由であるのは当然」としか言いようがありません。枕が違うと寝られない人を捕まえて、「旅行に枕を持ち込む人が居ますが、その理由として枕が違うと寝られないことが言われています。それが理由として本当に正しいのかどうかわかりません」と言ってるようなものです。その人は自分から「自分は枕が違うと寝られない」と明らかに表明しているのに、その質問はおかしいでしょう。これと一緒です。 長文、失礼しました。
その他の回答 (39)
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
いや、この推論がＯＫなら、どんなことに関してでも「証明できないこと」が"数学的に"証明できるんじゃないかと…。"数学的な"証明って「説得力がある」って意味じゃないんですよ。 > 「証明に使えるものはＱだけである」は正しいか？ > ｘ→ａでlim ｆ(ｘ)＝ｃであってもｆ(ｘ)＝ｃでない例は他にもあります。ａ＝０、ｆ＝sign とか。特に、０^ｘの場合ｘ＝０は"定義域の外"なのだから。０^ｘのｘ＝０における値が求められないのは、それが０^ｘの定義だからだと思います。 ｘ＝０、sign ｘで同じコトをやってみた。 ｘ→＋０ のとき、lim sign ｘ＝１です。でも、これは sign ０＝０を意味しません。どんなに小さくってもｘ＞０である限り、sing ０を計算したことにはならないからです。つまり、ｘ＞０の範囲での sing ｘの値がすべて分かっても、sing ０の値を知るには役に立ちません。…。sing ０の値を知るには sing の定義を見ればよいです。定義によって sing ０＝０です。
お礼
＞"数学的な"証明って「説得力がある」って意味じゃないんですよ。 定義に限れば、「説得力がある」かどうかは重要です。 ＞特に、０^ｘの場合ｘ＝０は"定義域の外"なのだから。 ０＾ｘの場合、ｘ＝０だけじゃなく、ｘ∈Ｎ以外のすべてが”定義域の外”です。 指数関数で０＾ｘは未定義ですし、ｘが実数の場合を定義するなら、何らかの仮定が必要です。 この仮定を決めるには、「単純である」とか「利便性がある」などの説得力が必要になります。 ＃「矛盾がない」は最低限ですね。 「単純である」と考えた場合、ある一つの仮定によって関数０＾ｘが、ｘ＞０で０であり、ｘ＜０で収束しないことを説明できなければなりません。 この仮定が、ｘ＞０の場合は……などのように、場合分けされていない方が良いのは当然でしょう。 その候補はそれほど多くなく、ｘ＝０での値が１になるものが多いのです。 ＃未定義となるものもあります。０となるのはありません。 signの話は、おおむねその通りですね。 最後は、奇関数にしたくて今のように決めたのでしょう。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> 元の文章に語句を補足して説明します。 > 争点が違います。内容はさておき推論が形式的に間違っています。 つまり、「Ｑである」と「Ｐと仮定するとＱ」から「Ｐの否定を証明できない」を導けるのか？です（Ｐは０^０＝０、Ｑは lim＝０です）。 常識的に考えてみて、ＰであろうとなかろうとＱなんだから、「Ｐ→Ｑだから」と言って、何かＰについて新たな「結論」を導けそうだと思いますか？ # Wikipedia によれば「形式的誤謬」というみたいです。
お礼
＞つまり、「Ｑである」と「Ｐと仮定するとＱ」から「Ｐの否定を証明できない」を導けるのか？ 「Ｑという論理式からはＰの否定を証明できない」とだけ言っているつもりですが… 質問文の「0^0 を未定義としなければならない理由は、存在しない」という記述の前には、”連続性がないことは…”という記述を行っています。 ただし、「証明に使えるものはＱだけである」ということを前提にすると、「Ｐの否定を証明できない」になります。 私の問いかけは、「証明に使えるものはＱだけである」は正しいか？という意味を含んでいます。 そうであっても、やはり「形式的誤謬」ですか？ ＃文章が分かりにくいことは認めます。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> 0^0×0=0 これが関数0^x に相当します。 > 0^0×1=1 これが関数x^0 に相当します。 > この２式から 0^0 を求めることができます。 > それと lim との関係が分からないです。 > いいえ、合ってます。言い換えてみます。 > ＞「"ドラえもんは犬型ロボット"と仮定しても lim ０^ｘ＝０なので… > 背理法「Ｐとすると矛盾するのでＰでない」に似た感じに述べてるけど、この文章には数学的効用がないです。次のようにも言えます。 ０^０をどのように定義しても指数法則を満たさないと仮定しても lim ＝０なので… ０^０＝０と仮定しても lim ＝０なので… ０≠０と仮定しても lim ＝０なので… lim ≠０と仮定しても lim ＝０なので… 新たに何も仮定しなくても lim ＝０なので… 「Ｐでないとはいえない」って何ですか？「Ｐの否定を証明できないと証明できた（または、できる）」ですか？「Ｐである」ですか？ もしかして、定義、定理、証明などの言葉の意味を間違ってませんか？
お礼
元の文章に語句を補足して説明します。 ＞＞（0^0=0 だけでなく）0^0=1 と仮定しても、x>0 について、0^x=0 が証明できるので、 0^0=0 → 0^x=0 0^0=1 → 0^x=0 この両方が成り立つ。これは次の式が真であることを示す。 ￢0^0=0 または 0^x=0 ￢0^0=1 または 0^x=0 0^x=1 は真であるので、0^0=0 と 0^0=1 の真偽は不明である。 ＞＞0^0=1 という仮定とlim[x→+0]0^x=0 には矛盾がありません。 矛盾があるとは、次のいずれかが成り立つこと。 0^0=1 → ￢0^x=0 0^x=0 → ￢0^0=1 一つ目は当然成り立ちませんし、二つ目も 0^0=1 の真偽はともかく、lim[x→+0]0^x=0 からだけでは否定を導けません。 ＞「Ｐでないとはいえない」って何ですか？ ＞「Ｐの否定を証明できないと証明できた（または、できる）」ですか？ そうだと思ってますが… 元に戻って説明すると、0^x に a^(r+s)=a^r*a^s を適応しても x=0 の値は決定できないことが証明できた、ということです。 ただし、それは x^0 に x=0 を代入した値に等しいと考えられるので、0^0=1 と決めても問題はありません。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
本題から外れてしまったので戻ります。 「つまり、関数０^ｘについて、ｘ＝０での値を求める方法は存在しません。」が「０^０を未定義としなければならない理由」になりませんか。「～を算出する方法は存在しない」のなら「～を定義する」積極的理由やその値に根拠もないと思います。 「０^０＝１と仮定しても…」の部分は、恐らく仮定が偽です。また、そもそも「～と仮定しても…なので、仮定～と…は矛盾しない」は、意味不明です。例えば「"ドラえもんは猫型ロボット"と仮定しても lim ０^ｘ＝０なので、"ドラえもんは猫型ロボット"と lim ０^ｘ＝０は矛盾しない」も同じ構造です。そして「結局、"ドラえもんは猫型ロボットではない"などとはいえない」などと続いています。 この説明には問題があります。 #36> #10で出てきた、次の前提があれば証明できるでしょう。 多分、#35 とは異なる何かを証明されようとしています。例えば、#35 はｆの一意性や存在については言及していません（「もし存在するのならば、それらはイズレも」と言っています）。だから「０^０以外で従来の定義と変えない」とか「連続性」とかは関係ないのです。実際、このようなｆは恐らく無数に存在します。しかし、ｆに正則性も要求すれば１個しかないと思います（局所的な値が定まると全体での値も決定してしまう…そんな複素解析的素敵定理があったような気がします）。 それに、#35 は証明するには大雑把すぎると思います。
お礼
＞「つまり、関数０^ｘについて、ｘ＝０での値を求める方法は存在しません。」が「０^０を未定義としなければならない理由」になりませんか。 今回使える関数は２つあるのです。つまり連立方程式。 0^0×0=0 これが関数0^x に相当します。 0^0×1=1 これが関数x^0 に相当します。 この２式から 0^0 を求めることができます。 ところが、１つ目が 0^0×1=0 なら、求められなくなります。 私は、１つ目の式が、この例に上げたような形であると述べているのです。 ＞そもそも「～と仮定しても…なので、仮定～と…は矛盾しない」は、意味不明です。 いいえ、合ってます。言い換えてみます。 ＞「"ドラえもんは犬型ロボット"と仮定しても lim ０^ｘ＝０なので、"ドラえもんは犬型ロボット"と lim ０^ｘ＝０は矛盾しない」も同じ構造です。そして「結局、"ドラえもんは犬型ロボットではない"などとはいえない」などと続いています。 結局、「lim ０^ｘ＝０」から「ドラえもんは犬型ロボット」は否定できていないのですから、私の言いたいのはそういうことです。 ＃ただ、分かりにくいのですね。 「0^0=1 でないこと」は「lim[x→+0]0^x=0」の必要条件ではありません。 ＞だから「０^０以外で従来の定義と変えない」とか「連続性」とかは関係ないのです。 (4)は別の定義からは出てきません。 つまり、そういう意味では#35は証明できません。 この条件も文章に加えたら、証明はできているでしょうか？ ＞ｆに正則性も要求すれば１個しかないと思います これから(4)が出てくればいいですね。調べてみます。 ＞それに、#35 は証明するには大雑把すぎると思います。 指摘があれば、出来るだけ修正いたします。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> そしてこれを、Wikiの記述に追加したいのです。 > #35 で初めて出てきたモノを、すでに Wikipedia に追加しようとしたことがあるの？ 因果律を破って？ あと、これ証明できるんですか。 いずれにしても、全っ然、通じてないと思います。 最近は「１÷ｘのグラフは、モロモロ対称で、この対称性を保ったままｘ＝０へ拡張すると、１÷ｘ＝０以外にありえないので、１÷ｘ＝０（とすべき）。」との違いが良く分からないのだけど…。
お礼
＞#35 で初めて出てきたモノを、すでに Wikipedia に追加しようとしたことがあるの？ http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4502864.html これで示したような文章を追加しようとしたことはあります。 #35の文章なら、少しは受け入れられたかもしれませんね。 ＞あと、これ証明できるんですか。 #10で出てきた、次の前提があれば証明できるでしょう。 (1) f(x,y+z)=f(x,y)*f(x,z) ただし x≠0 or (y>=0 and z>=0) (2) f(x,y*z)=f(f(x,y),z) ただし x≠0 or (y>=0 and y*z>=0) (4) f(0,-1)≠0 (6) f(x,y+1)=f(x,y)*x ただし x≠0 or y>=0 (6') f(x,1)=x (6')と(6)がべき乗の定義、(1),(2)は指数法則です。 (4)は、0^0 以外で従来の定義と変えないため、あるいはf(0,-1)で次の連続性を仮定するためです。 f(x,y)=lim[u→x,v→y]u^v 証明すべき事項は、次の式になります。 f(x,0)=1 (2)より、y=0 とおくと f(x,0)=f(f(x,0),z) ……(a) z=-1 とおくと f(x,0)=f(f(x,0),-1) (4)より、f(x,0)≠0 である。 (6),(a)より f(f(x,0),z+1)=f(f(x,0),z)*f(x,0)=f(x,0) f(f(x,0),z)=f(x,0)/f(x,0)=1 f(x,0)=1 ＞最近は「１÷ｘのグラフは、モロモロ対称で、この対称性を保ったままｘ＝０へ拡張すると、１÷ｘ＝０以外にありえないので、１÷ｘ＝０（とすべき）。」との違いが良く分からないのだけど…。 数をS1で考えると、１÷ｘのグラフは０の反対側の∞に対しても対称となりますので、０以外にありえないということはありません。 もちろん、0 * 0 = 0 なので、1 ÷ 0 = 0 ということにもなりません。 もし、そう言った反論がなく、対称性だけが存在するなら、1 ÷ 0 = 0 という主張は妥当性を持ちます。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> さて、一連の質問の目的ですが、稚拙な自分の考えをまとめることにあります。 > 今までのをマトメると、「盲目的に信じてください」というよりは、「ｆ（ｘ，ｙ）はＲ×Ｎにおいてｘ^ｙに等しく、全域で指数法則を満足するとする。ｆが（０，０）で定義されるのであれば、ｆ（０，０）＝１。」に近いんじゃないかと。> #34
お礼
そうです。 今回の言葉は、素直に納得できます。 そしてこれを、Wikiの記述に追加したいのです。 それは、未定義の否定ではないのですが、なぜか反対されます。 ＃Wikiの定義では、Ｒ>0×Ｒの指数関数と、Ｒ×Ｎのべき乗に分かれてますから、x=0 が定義されたＲ×Ｒの関数は存在しません。 ＃その割に、lim[x→+0]0^x=0 が使われますので、みなさんの頭の中にはＲ×Ｒの関数が存在するようです。 また、Ｒ×Ｎでは満足できない人もいるので、Ｒ×Ｒに拡張できないかと考えています。 その場合は、連続性が無くなることに納得できない人が多いですね。 ありがとうございました。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えぇと, 実は私も「0^0 = 1 を無条件で認めてほしい」と思っているのではないかと思って控えていたりしたんです＞#33. それが証拠に, 「指数法則に従う」とか「従わない」とか言ってるわりには, その「指数法則」の中に (実質的に) 「0^0 = 1」が入ってるんですよね. しかも, 「0^0 = 0」と定義しても矛盾なく拡張できる (もちろん「0^0 = 1」とはならないが, これはただ単に「0 と 1 は違う」というレベル) ことがわかると, 今度は「0 は逆元を持たないから 0^-1 は未定義じゃないといけない」とか言いだす. 自分では (普通は未定義にしているはずの) 「0^0」を定義してるのに, 他人が (やはり普通は未定義にしている) 「0^-1」を定義するのは否定する. もう, まさに最初から「0^0 = 1」があって, これをいかに正当化するかだけを追求してるように見えるんだよね～.
お礼
私には、逆に見えています。 誰もが納得するべき乗は、底が 0 より大きい範囲ですから、それを底が 0 に拡張するには、何らかの仮定が必要です。 ＞その「指数法則」の中に (実質的に) 「0^0 = 1」が入ってるんですよね. すべての y>0 で 0^y=0 であることを言うためには、底が 0 のべき乗に指数法則を適用しなければならないのに、恣意的に y>0 だけに限定して適用している。 ＞自分では (普通は未定義にしているはずの) 「0^0」を定義してるのに, 他人が (やはり普通は未定義にしている) 「0^-1」を定義するのは否定する. あるいは、連続性を仮定して 0^y を推定する場合、y=0 以外では 0^y=lim[x→+0]x^y としているのに、y=0 だけはこの式は使えないとしている。 これは、最初から未定義という前提があって、それを正当化しているのでしょうか？ 私は、どちらの思惑も入らない形で、0^y を一から定義できれば、と思っていますが、無理なんでしょうかね。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> 「ＸＸＸとすると」の部分は、どこまで行っても仮定に過ぎません。 > だとしたら、最後は信じるか信じないかの話になります。 推測ですが、最近の一連の質問は、実は lim とか指数法則とかはどうでもよくて「単に０^０＝１と無条件に信じてください」というコトではないでしょうか？
お礼
信じるということは、数学ではよく行われます。 ０や負の数や虚数などは、目に見えないので、信じない人もいます。 ただし、そう考えることである意味で辻褄が合うので、反対する人は少ないです。 ＃「－１個売れた」を「１個返品された」と考えるなど。 その場合の判断基準は、矛盾するかどうかだと思うのですが、見えないという反対理由だった場合には、信じてくださいとしか言えないのかもしれません。 さて、一連の質問の目的ですが、稚拙な自分の考えをまとめることにあります。 反論された部分を補強して、矛盾点を突かれないように修正を行っています。 説得したい相手は、別の人ですから… その意味では信じてもらってもしょうがないのですが、（私の気持ちが）楽になります。 今回の質問に限れば、以下の証明です。 ・指数法則に従わない「0^0=0」 ・指数法則に従う唯一の値「0^0=1」 ・自然数だけでなく実数で考えても理由が無い「未定義」 そして、次のようにも考えています。 ・y>0 で 0^y=0 ならば 0^0=1 ありがとうございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
←No.31 補足 ＞ ここから、本当に =1 と求められますか？ 求められます。 よい練習になりますから、自分でやってみなさい。
お礼
そうですか。 ありがとうございました。
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
←No.30 補足 違います。 先の定義の下で、 lim[x→+0] x^0 = 1 と lim[y→+0] 0^y = 0 は、 収束します。 この程度の計算は、自分でできるといいですね。 lim[x→+0,y→+0] x^y は、 当然、収束しません。この事こそが、 世間で x^y と呼んでいる関数に 0^0 の値を やたらに付け加えるべきでない、主な理由です。 No.30 へ切り返すのならば、 「y < 0 のときも 0^y = 1 か？」くらいのツッコミ ができると、議論が深まるのですが。
お礼
＞先の定義の下で、 ＞lim[x→+0] x^0 = 1 と ＞lim[y→+0] 0^y = 0 は、 ＞収束します。 lim[x→+0]x^0=lim[x→+0]lim[u→x,v→0] exp(v log u) ということでしょう？ ここから、本当に =1 と求められますか？ 途中経過を省略せずにお願いします。 ありがとうございました。
お礼
＞「連続性が無いと困る人が0^0を未定義としているので、連続性がないのが理由であるのは当然」 これは、十分に納得できる理由だと思います。 ガンマ関数が階乗と１ずれている理由について、ボーア・モレルップの定理を見て納得したのと同じ感覚です。 よって、指数関数には連続性が必要であり、0^0を未定義とする十分な理由である、というのは想像できます。 でも、まだ２つの疑問が残ります。 微分方程式f'(x)=f(x)、f(0)=1の解とするなら、なぜ指数関数の定義が、a^0=1 ではないのでしょうか。 実際の定義は a^1=a ですので、これでは、f(1)=e の方程式の解を求めていることになります。 f(0)=e/e=1 と求められ、この関数も微分方程式を満たすことが確認できますが、かなり不自然な定義です。 0^0 を未定義とするために、わざわざ a^1=a から始めたのでしょうが、対応がすっきりしていません。 微分方程式f'(x)=k*f(x)、f(0)=1 とすると、より一般の指数関数が得られます。 ところが、この微分方程式を解いてみても、0^x は現れないのです。 だったら、0^0 が連続でなくとも、影響はないのです。 それに、指数関数の指数は任意の実数ですから、負の指数が定義されないのであれば、その部分ではやはり連続ではありません。 ＃未定義を連続とみなすルールはないですよね？ 指数関数には逆関数も必要ですが、log[0]x は存在しません。 その意味でも、0^x は指数関数ではないのです。 結局、微分方程式の解として現れる指数関数と、べき乗を区別しないから、べき乗にまで連続性を求めているのではないでしょうか。 ＞a^b=exp(b×log(a)) これに、0^b が含まれていないのは明らかです。 0^0 を定義したことによって「連続性が成り立たなくなって」と考えるのは、誤解だと思います。 ＞仮にそのように考えたことによって指数法則の一部を満たさなくなったとしても、そんなことは問題ではないのです。 これは、多分乱暴過ぎると思います。 微分方程式の解が存在すると考えた時、その解が持つ性質が指数法則であり、それを満たす関数として、指数関数があるのだと思います。 ＃昔、そういう流れを見た気がします。忘れましたが… 長文での回答、ありがとうございました。