極限の関数の連続性

質問

関数が連続になる理由がわからないので質問します。
(1) aは0でない定数とする。x≧0のとき
f(x)=lim(n→∞){x^2n+1 +(a-1)x^n -1}/{x^2n -ax^n -1}を求めよ。
(2)関数f(x)がx≧0において連続となるように,aの値を求めよ。
(1)は解けました。(2)がわかりません。解答では
(1)より x>1のときf(x)=lim(n→∞){x +(a-1)/x^n -1/x^2n}/{1 -a/x^n -1/x^2n}=x
　　 x=1のときf(x)=lim(n→∞){1^2n+1 +(a-1)1^n -1}/{1^2n -a1^n -1}=(1-a)/a
0≦x＜1のときf(x)=lim(n→∞){0+0-1}/{0-0-1}＝1
分からない１文は、f(x)は 0≦x＜1,x>1においてそれぞれ連続である。連続になる理由は、x≧0においてグラフが描けるからでしょうか？定義域の確認などは必要ないのでしょうか。
このあと、x≧0において連続になるためには、x=1で連続になることが必要十分条件
であるとして、lim(x→1-0)f(x)とlim(x→1+0)f(x)がともに1になるので、
1=(1-a)/aからa=1/2として答えをだしています。
どなたかf(x)=x,f(x)=1などがx≧0で連続になる理由を教えてください。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

＞どなたかf(x)=x,f(x)=1などがx≧0で連続になる理由を教えてください。

どちらの関数も、すべての実数aに対して、連続の定義
「lim(x->a) f(x) = f(a)」
を満たしているからです。
xの多項式で表された関数が、すべての実数で連続であることは証明抜きに使ってもかまわないでしょう。

お礼

xの多項式で表された関数は、すべての実数で連続である。と覚えます。
ありがとうございます。