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関数の連続性
f(x)=xsin(1/x) (x≠0) f(x)=0 (x=0) (1)x=0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。 (2)x≠0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。 (1)は lim[x→0]xsin(1/x)=0=f(0) より連続性をもっている。 f'(x)=lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/h =lim[h→0]sin(1/h) となって極限値は存在しないよってf(x)は原点において 微分不可能である。 上記が自分なりに考えた答えです。あっているかどうかは分かりません。 解答がない為。 (2)についてですが、 x≠0の時は当然連続であるなんだと思いますが、どのように証明したらよいのですか？また、微分可能性はどのようになるのでしょうか？ ご指導おねがい致します。
- show-ten
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- endlessriver
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(1)は良いと思います。が、どのような形式の解答が期待されているかにもよると思います。 (2)は下記のように分解してa（x,a≠0)での連続性をε-δ法で求められます。 xsin(1/x) - asin(1/a) =(x-a)sin(1/x) + a{sin(1/x) - sin(1/a)} =(x-a)sin(1/x) + 2a[sin(1/2){(1/x) - (1/a)}cos(1/2){(1/x) + (1/a)}]．．．．．和と積の公式 これを(1)の用にして解くときはx=a+hとしてh→0の極限を求めれば良いです。微分は上記をhで割れば良いです。
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