関数の連続性

質問

f(x)=xsin(1/x) (x≠0)
f(x)=0 (x=0)
(1)x=0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。
(2)x≠0におけるf(x)の連続性、微分可能性を調べよ。

(1)は
lim[x→0]xsin(1/x)=0=f(0)
より連続性をもっている。
f'(x)=lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/h
=lim[h→0]sin(1/h)
となって極限値は存在しないよってf(x)は原点において
微分不可能である。
上記が自分なりに考えた答えです。あっているかどうかは分かりません。
解答がない為。
(2)についてですが、
x≠0の時は当然連続であるなんだと思いますが、どのように証明したらよいのですか？また、微分可能性はどのようになるのでしょうか？
ご指導おねがい致します。

回答No.1

endlessriver

(1)は良いと思います。が、どのような形式の解答が期待されているかにもよると思います。

(2)は下記のように分解してa（x,a≠0)での連続性をε-δ法で求められます。
xsin(1/x) - asin(1/a)
=(x-a)sin(1/x) + a{sin(1/x) - sin(1/a)}
=(x-a)sin(1/x) + 2a[sin(1/2){(1/x) - (1/a)}cos(1/2){(1/x) + (1/a)}]．．．．．和と積の公式

これを(1)の用にして解くときはx=a+hとしてh→0の極限を求めれば良いです。微分は上記をhで割れば良いです。

お礼

回答ありがとうございます。