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関数の連続性の調査方法と答えの書き方
- 関数の連続性を調べる方法とその答えの書き方について教えてください。
- 具体的な例でf(x)=(x^2-9)/(x-3)の連続性を調べる手順と答えの書き方を解説します。
- また、f(x)=1/(x-1)^2の連続性を調べる方法と答えの書き方も説明します。
- 数学・算数
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← No.3 補足 ＞ これじゃいけないんですか？ 貴方が高校生なら、それで十分です。 今、数学を勉強しているところならば、 極限の定義に則して、 lim[x→3] f(x) が 4 へは収束しないこと、 lim[x→1] g(x) が 0 へは収束しないこと を示したほうが良いでしょう。
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- arrysthmia
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＞ これ10分くらいで終わらせて微分やってたからそんなに大切じゃないのに 高校の授業で、関数の連続性に関する説明をアッサリ終えてしまうのは、 それが大切じゃないからではなく、高校の教程では、極限に関して 「x が近づくと、f(x) が近づく」以上の説明ができないから です。 10 分以上話そうとすると、指導要綱を逸脱してしまいます。 その部分の詳しい内容は、技術的には、No.1 さんの挙げた教科書等に、 裏話は、http://www.amazon.co.jp/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E3%81%93%E3%81%93%E3%82%8D-%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB-%E6%A3%AE-%E6%AF%85/dp/4480089578 などに 書いてあります。 質問の例、f(x) = 【 (x~2-9)/(x-3)(x≠3)、4(x=3のとき) 】 などは、 上級の教程でも「可除特異点」といって、ほんとうに「どうでもいい」例 なのですが、連続・不連続の判定が簡単であることから、 関数の連続性とは何か、定義が解っているか を問う例題として、 教科書等でよく採り上げられます。 このような例を例題に使うことの善し悪しについても、前掲の 森毅 には 薀蓄が語られています。
f(x)=(x~2-9)/(x-3) =(x+3)(x-3)/(x-3) x=3では ｆ（ｘ）＝0/0になるので定義不能。 よって x≠3では ｆ（ｘ）＝ｘ＋３ lim f(x)=x+3=6 ｘ－>3 であるが、 ｘ＝３のとこｆ（ｘ）＝４と定義しているので ”ｘ＝３で不連続”
- Tacosan
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上でも「極限を使っている」といえば使っているんですよ. ただ, 式の上で極限を考えないで, グラフとして表現しているだけ. そもそも「連続」の定義に極限は出てきますよね. そして, 「連続」の定義に戻って考えるだけなので書き方は省略. 素直に, 「連続」の定義に戻ってください.
- kt1965
- ベストアンサー率34% (116/339)
回答しておきます。 一番良いのは、「高木貞治著、『解析概論』、岩波書店」や「クーラント、ロビンソン著、『数学とは何か？』、岩波書店」などを読むと良いでしょう。 数の連続性から関数の連続性に関しては、19世紀のそうそうたる数学者達が挑んで現在に至ります。そして、19世紀の終わり、「カントール」という数学者と「ヒルベルト」という数学者によって、「無限」について理論化がなされました。 この「無限」を特殊な数として扱えば、現在数学の領域では普通に使われている「超準解析」と呼ばれるもので簡単に解決できるのですが、そのためには、どうしても「数理論理学」の素養が必要になるのです。 まあ、そんなことで時間を掛けてやっているのでしょう。 では。
補足
そして解答例の方はorz
補足
x≠3では f（ｘ）＝ｘ＋３ limf(x)=x+3=6 ｘ－>3 f（ｘ）＝４ ”ｘ＝３で不連続” 次のは f(x)=【1/(x-1)^2(x≠1)、0(x=1のとき)】の連続性を調べよ lim[x→1]g(x)＝lim[x→1]1/(x-1)^2＝∞ g(1)＝0 よってx=1で不連続 これじゃいけないんですか？