関数f(x)の連続性と微分可能性に関する問題です。

質問

aを実数とする。次で定義される関数f(x)の連続性と微分可能性を調べよ。
x≦0のときf(x)=0、x>0のときf(x)=x^a*sin1/x
という問題について、解いている途中で混乱が生じました。

x≠0のときf(x)は連続かつ微分可能だから、x=0におけるふるまいを調べる。
x>0のとき、f'(x)=a*x^(a-1)*sin(1/x)-x^(a-2)*cos1/xであり、x<0のときf'(x)=0
(i)右からの極限
-1≦sin1/x≦1だから、-x^a≦x^a*sin1/x≦x^a
はさみうちの原理より、lim【x→+0】（-x^a）≦lim【x→+0】f(x)≦lim【x→+0】x^a
a>0ならばlim【x→+0】f(x)=0
a=0のときはlim【x→+0】f(x)=1
a<0のときはlim【x→+0】f(x)は発散。
よってa>0のとき連続。a≦0のとき不連続。（答）

次に微分可能性を調べる。
（ii）右からの極限
lim【x→+0】f'(x)=lim【x→+0】{a*x^(a-1)*sin(1/x)-x^(a-2)*cos1/x}
（i）と同様に考えるとlim【x→+0】a*x^(a-1)*sin(1/x)はa>1のとき0。a=0のときも0。
a=1のときsin∞となり発散で微分不可能。a<1のときも発散で微分不可能。
ゆえにa>1またはa=0に限定してlim【x→+0】f'(x)の極限を調べる。
このときlim【x→+0】f'(x)=lim【x→+0】{-x^(a-2)*cos1/x}
-1≦cos1/x≦1であり、同様にはさみうちの原理からlim【x→+0】f'(x)はa>2ならばlim【x→+0】f'(x)=0で微分可能。a<2ならば微分不可能。（答）

問題集には、a>1のとき微分可能。a≦1のとき微分不可能と書いてあります。私の解き方のいけない点を教えてください。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

連続性について、
a > 0 の場合の考察は、結論も根拠も正しい。
a = 0 のとき、lim[x→+0] f(x) は収束しない。
a < 0 のとき、確かに lim[x→+0] f(x) は発散するが、それは
-x^a ≦ (x^a)sin(1/x) ≦ x^a のハサミウチでは説明できない。
別の論証が必要。

微分可能性について、
最初から、f ' (x) = { a x^(a-1) } sin(1/x) - { x^(a-2) } cos(1/x)
という式を使ってしまっているので、それ以降の議論は、
f(x) が微分可能な範囲の x でしか成り立たない。
よって、f(x) が微分可能か否かの判定には、役に立たない。

お礼

ありがとうございます。

補足

ご回答ありがとうございます。
すみませんが、ご指摘してくださった部分の模範解答を教えていただけると大変うれしいです。
自分でも考えたのですが、思いつきませんでした。

回答No.1

nakaizu

あなたが調べたのはf'(x)の連続性であって、f'(0)が存在するかどうかを調べたわけではないからです。
微分の定義にしたがって
f'(0)=lim(h→0)(f(h)-f(0))/h
が存在するかを調べないといけません。

お礼

ありがとうございます。