関数の連続

質問

ある問題の解答の途中なのですが、lim{F(x+h)-F(x)}=0 (h→0)　だとＦ(x)は全てのｘに対して連続である。となっています。
なんとなくlim{F(x+h)-F(x)}=0だとＦ(x)は連続という気はするのですが、なぜそうなるのか具体的にわかりません。ご教示お願いします。

回答No.2

kansai_daisuki · ベストアンサー

とにかくグラフを描いてください。
関数F(x)のグラフです。
F(x)は、何でも良いです。好きなグラフ（堅苦しく言うと、任意のグラフ）を描いてください。

　F(x)は変数がxの一つのみですので、y=F(x)とおいて、x軸とy軸の線を引いて、そこにグラフを描いてくだされば十分です。（一般的には、X1,X2,,,,Xn-1,Xnとなりますが、基本はxで十分です。)

　ここで、x-hの方向からxに近づいていくF(x)と、x+hの方向からxに近づいていくF(x)とがあります。この２つのy(=F(x))が一緒であれば、y(=F(x))はつながっていますよね。

　tan(90°+h)のように、+hから近づくならば+∞になり、-hから近づくならば-∞になる場合があれば連続ではないため、両方からの極限値を確認する必要があります。

　この具体的なグラフを一つ一つに対して確認した際に、どのグラフに対しても成り立つとために、数学ではこれを連続の定義としています。

　逆に言えば、連続と言う概念を何とかして定義（説明）しようとすれば、この説明（数式）になるということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。いままでどうも関数の連続の定義式についてしっくりこないところがあったのですが「連続と言う概念を何とかして定義（説明）しようとすれば、この説明（数式）になるということです」との説明を見させていただき理解できた思います。
連続に関する応用問題がでてきたとしても解ける気がしてきました。本当にありがとうございます！

回答No.3

yumisamisiidesu

連続って言う概念の直感的意味考えよう
そしたら、なぜ、こういう式(lim{F(x+h)-F(x)}=0)で
定義されるのか直感的に理解できると思います
「連続ゆう概念は、グラフが繋がっているっていうイメージだよ」←「」内すごい大事
lim{F(x+h)-F(x)}=0 の式の意味は、xのすごい近くでは、
点が限りなく近い--→つながっている
って言うことを意味してるよ

お礼

ご回答ありがとうございます。No.2さんの「連続と言う概念を何とかして定義（説明）しようとすれば、この説明（数式）になるということです」との回答につづき「連続ゆう概念は、グラフが繋がっているっていうイメージ」とのことで連続という概念に関していままでしっくりこなっかたところがだいぶ理解できたとおもいます。
ありがとうございました！

回答No.1

tresbien

limF(x+h)=F(x) (h→0)　は連続の定義です。
テキストを見て！

お礼

これも連続の定義のまんまなのですか！連続の定義の式はlimF(x)=F(a) (x→a)のほうしか知らなかったです。ご回答ありがとうございました！