関数の(0,0)における連続性を調べる問題

質問

(x,y)≠(0,0)のときx*y^2/(x^2+y)、
(x,y)=(0,0)のとき0
である関数f(x,y)があります。
この関数が(0,0)で連続であるかどうかを調べたいです。
問題集の解答に、y=x^5-x^2に沿って0に近づければ
lim【x→+0】f(x,x^5-x^2)=・・・=lim【x→0】(x^3-1)^2=1≠0となるから、不連続であることが分かると書いてありました。自分も計算してみて納得しました。
しかし、どうやったらy=x^5-x^2という関数を思いつくのかが分かりません。
x*y^2/(x^2+y)の分母のxが邪魔だから、y=t-x^2とおいてみました。
このあとどうすれば、t=x^5であることがわかるでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

y = t - x^2 から f(x, y) = x(t-x^2)^2 / t = xt - 2x^3 + x^5/t.
これより, t = O(x^5) であれば極限は 0 にならないことが分かります.

お礼

ありがとうございました。