関数の連続性について

質問

「関数f(x)の定義域に属するxの値aに対して関数f（x）がx=aで連続⇔(1)lim[x→a]f（x）が存在(2)lim[x→a]f（x）=f(a)

(1)(2)のどちらかが成り立たないとき、x=aで不連続である」

と教科書にあるんですが、(2)のみ言えれば極限値が存在し、かつその値はf(a)であると言えるのではないのでしょうか

教科書がわざわざ強調しているのでたいへん気になりました。

よろしくお願いします

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

#3です。

＞＞たとえ(1)が成立しても(2)は、どうしても必要な訳です。

＞(2)のみで十分では？と言っているんですが

　前回は行きがかり上、上記のようになりましたが、こう言えばよかったのかな？。

　 lim[x→a]f（x）=f(a)　が成り立つなら、「lim[x→a]f（x）は存在し、aはf(x)の定義域の中にあって当然f(a)も存在し、極限と関数値は等しい」と読み取るのが普通です。それはそうなんですよ。それはそうなんですが、これらはいわば「暗黙の読み取り」な訳です。

　いっぽう定義は、「すべてを明記」するのが原則です。なので「定義の文章」としては、

　　(1)関数f(x)の定義域に属するxの値aについては、関数の定義よりf(a)が存在する．
　　(2)さらにlim[x→a]f（x）が存在するとして、

　　　lim[x→a]f（x）=f(a)

　　が成り立つ時に、微分可能と言う．

などとなります。その意味では、質問文の定義の文章も、若干省略された形といえます。

　こういうのは、数学の定義の作文に関する作法（慣習）だと思っとけば良い程度のことで、こんな事であまり悩まないで下さいね、というのが前回の趣旨です。

お礼

なるほど！ありがとうございます！

回答No.3

noname#221368

発言するかどうか、5分くらい迷ったのですが、あまりくだらないところで悩んで欲しくなかったので、発言します。

　まず#1さんも#2さんの仰る事も、常識的に考えればもっともな話だと、最初にお断りしておきます。

　問題は(1)(2)が「定義だ」という事です。

　例えば関数f(x)をf(x)＝x^2に「決めた」とします。こう「決めた」瞬間に、x＝aにおいてf(a)が存在し、f(a)＝a^2である事は当然になります。

　しかし、こう決めなくても関数になります。あるa≠0（例えばa＝1）に対してはg(a)＝0。x＝a以外に対してはg(x)＝x^2と「決めた」としても、g(x)は関数です。そしてg(x)には、

　　lim[x→a]g（x）=g(a)

が成り立ちません。lim[x→a]g（x）=a^2≠0は存在しますが、a≠0に対してg(a)＝0と「決めた」からです。

　何を言いたいかというと、

　　lim[x→a]f((x) = f(a)　が「成り立つ」

なら、「lim[x→a]f((x)は存在」し、「それがf(a)に等しい」のは当然なんですが（#2さん）、「定義」とは、

　　lim[x→a]f((x) = f(a)　が「成り立つ説明」

である事から、たとえ(1)が成立しても(2)は、どうしても必要な訳です。

　(1)が成り立たない例は、

　　f(x)＝sin(1/x)

のようなケースです。このf(x)はx＝a＝0で値を定義できません。このような場合、f(x)はx＝aを除く範囲を定義域とした方がもちろん良いのですが（この意味はちょっと待って下さい）、このような事が見た瞬間にはわからない場合もあります。でも数学的「定義」は、そのような特殊事情は無視します。

　　後でそういう事がわかったら、その点を定義域から除外すれば良い．それで(1)(2)の定義に合致するはずだ．

・・・と（不親切だ！(^^；)）。

　上記の教育的例が、#1さんの仰る事です。穴あき関数という奴です。たとえ極限は存在しても、f(a)はないかも知れないよと。

　厳密にはx＝aが関数f(x)の定義域に含まれる限り、f(a)には（というかf(a)という）値を決めねばなりません。決めなかったら、f(x)は関数ではないからです。ところがf(x)＝sin(1/x)に対して、例えばf(0)＝0と決めれば、それは立派な関数なんですよ。もちろん不連続で、とっても不自然です。やはり穴あき関数とするのが自然でしょう。

　そういう訳で、人工的なのも自然なのも、そんなこんなに全て対処できるように数学の定義は書かれています。余り悩まずに、常識的に判断すれば、きっと大丈夫です(^^)。

補足

＞たとえ(1)が成立しても(2)は、どうしても必要な訳です。

(2)のみで十分では？と言っているんですが

回答No.2

ramayana

質問者さんに賛成です。

普通、

　　lim[x→a]f((x) = f(a)

と書けば、

　　「lim[x→a]f((x) が存在し、その極限が f(a) である」

ことを意味します。ただ、人によっては、極限が存在するかどうか分からないのに lim[x→a] という記号を使ってはいけない、と言うかもしれないので、誤解がないように (1) があるのでしょう。

まあ、(1) が成り立たなければ当然 (2) が成り立たないのだから、「(1)(2)のどちらかが成り立たないとき、x=aで不連続である」というのも、論理的には間違いでありません。

お礼

よくわかりました！ありがとうございます！

回答No.1

Ae610

1.lim[x→a]f(x)が存在
2.f(a)が存在
3.lim[x→a]f(x) = f(a)
・・・となるとき、f(x)はx=aで連続であるといえる‥!

lim[x→a]f(x)が存在してもf(a)という値が定義されていなければx=aでの値f(a)が存在しないことになり、連続にはなり得ない‥!
(イメージでいうと、その部分だけ"穴"が開く‥!!)
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