連続関数

質問

以下の問いについて、f(0)を定義してＲ上で連続関数にできるかお答えいただきたい。

f(x)=(e^1/x)-1/(e^1/x)+1

lim f(x)=f(a) ならばx=aで連続というのは分かるのですが。
x→a

回答No.1

proto

lim[x→a]{f(x)} = f(a)ならばx=aで連続というのはあっているのですが、それ以前のlim[x→a]{f(x)}が存在する条件として、右極限と左極限が一致する必要があります。
具体的には
　　lim[x→a+0]{f(x)} = lim[x→a-0]{f(x)} = α
ならば
　　lim[x→a]{f(x)} = α
となりますが、
　　lim[x→a+0]{f(x)} ≠ lim[x→a-0]{f(x)}
の場合にはlimlim[x→a]{f(x)}は存在しないと言うことになります。

今回の場合なら
lim[x→+0]{f(x)}とlim[x→-0]{f(x)}をそれぞれ計算してみてください、
ポイントは
　　f(x) = (exp(1/x)-1)/(exp(1/x)+1) = 1 -2/(exp(1/x)+1)
と変形する事です。
結論から言うと、lim[x→+0]{exp(1/x)}とlim[x→-0]{exp(1/x)}が一致しないために上の式の左右からの極限は一致しません。
ですからf(0)をどう定義しても左右から0に近づいたときのどちらか一方では不連続になります。

お礼

lim[x→+0]{exp(1/x)}=∞

lim[x→-0]{exp(1/x)}＝0となるから

ｆ(x)の値もそれぞれ＋1、－1と異なり、一致しないということですか。

丁寧なお答え感謝します。