関数の連続ε-δ論法

質問

こんにちは。関数の連続性についての質問です。

定義を

「関数fが、実数のドメインD　とレンジRを持ち

∀ε＞0 ,∃δ＞0　st｜f(x)-f(p)｜<ε　whenever｜x-p｜<δ

を満たすとき点p∈Dにおいてε-δの性質をもつ」

とする時、

定理１．ｆがε-δの性質をもつとき、ｆは点ｐに置いて連続である

この定理の証明をしたいのですが、この定義はそのまま極限の定義

lim(x→p)f(x)=f(p); ∀ε＞0, ∃δ＞0,∀x∈S:　0<｜x-p｜<δ⇒｜f(x)-f(p)｜<ε　

の様な気がするのですが、この定理は証明可能なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

koko_u_

>この定理の証明をしたいのですが
その定理の周辺に「連続」の定義はありますか？探して下さい。

連続性の定義はいくつかあって、質問文にある「点p∈Dにおいてε-δの性質をもつ」なる言明もその一つです。
ほかにも一般の位相空間に基づいたものなどいくつかあるので、その参考書(？)の定義がわからないことには回答不能です。

補足

結局コーシー列の定義を使って証明しました。ありがとうございました。

回答No.1

noname#50894

“ｆがε-δの性質をもつ…”
この定義は、連続性の定義そのものと解釈して良いと思います。