関数f(x)がC∞-級関数であることの証明

質問

(1)f(x)が連続関数で、ｘ≠0で微分可能かつ
lim[x→+0]f'(x)=lim[x→-0]f'(x)=A (Aは実数)
ならば、f(x)はx=0でも微分可能でf'(0)=Aとなることを示せ。

(2)

f(x)=0 (x≦0のとき)
f(x)=e^(-1/x) (x>0のとき)
とするとき、f(x)はC∞-級関数であることを示せ。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

という問題で、(1)についてはロピタルの定理から簡単に示せるので、分からない点はありません。
(2)なんですが、x>0のとき任意のｎ=1,2,3,・・・に対し、{f(x)}^(n)は
Σ[k=0→2n]{{a【k】}*e^(-1/x)}/x^kの形に表せます。
∀rについてCr-級をｒに関する帰納法で示したいです。
r=1のときf'(x)={e^(-1/x)}/x^2
だから１回微分可能。また、lim[x→0]f'(x)=0=f'(0)よりf'(x)は連続。
よってr=1のときにCr-級であることが証明されました。
この後、どうやっていいかわからないので教えてください。

回答No.1

PRFRD · ベストアンサー

非常に有名な「解析的でない（テイラー展開できない），滑らかな関数」の例ですね．

一般に，任意の非負整数 m と x > 0 について
　1/(m+1)! (1/x)^{m+1} ≦ Σ1/k! (1/x)^k = exp(1/x)
なので，
　(1/x)^m ≦ C x exp(1/x)
が成り立ちます（C は m に依存する定数）．

さて，証明すべきことは
　lim_{x→+0} f^{(n)}(x) / x = 0
でした．f^{(n)}の具体形を代入すると
　f^{(n)}(x)/x = (n次多項式) exp(-1/x) / x^{2n+1}
という形でかけます（n次多項式の形は使わないので略）．
ここで上の不等式を（m = 2n+1 として）使うと
　|f^{(n)}(x)/x| ≦ C x |(n次多項式)|
となるため，両辺で x → +0 とすれば示したかった極限が得られます．

なお，上記の部分では，帰納法を使っていません．
通常この主張の証明で帰納法を使うのは，f^{(n)} の形を決定するところです．

お礼

どうもありがとうございました。
ちょっとまだ消化し切れていないところがあるので、また質問することがあるかもしれません。

回答No.2

arrysthmia

milkyway60 さん自身が考えたように、数学的帰納法を使えば良いです。
その具体的方法の概略は、A No.1 の通りですが、
証明が帰納法の体裁をとることは、避けられません。

{f^(n)}(x) が x=0 で微分可能であることを示すためには、定義に沿って
lim[h→+0] ( {f^(n)}(h) - {f^(n)}(0) ) / h が収束することを示す
のですが、この式を = lim[h→+0] {f^(n)}(h) / h と変形するのには、
{f^(n)}(0) = 0 が必要で、f^(n-1) の x=0 での微分可能性が先に
得られていなければならないからです。
その他の点は、A No.1 の説明で ok です。

お礼

どうもありがとうございました。
この問題では数学的帰納法を2回使うようですね。
前の方のお礼にも書いたのですが、まだ理解し切れてない部分があるので、また質問をすることがあるかもしれません。