関数の連続性とε-δ論法

質問

教科書に書いてあった関数の連続性とε-δ論法で

「すべてのε>0、δ>0を満たすδが存在する s.t. 0<|x-a|<δ => |f(x)-f(a)|<ε

このときlim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である。」

とありますが、この意味が分かりません。

0<|x-a|<δ ということはｘがaに限りなく近づく

|f(x)-f(a)|<ε ということはｆ(x)がf(a)に限りなく近づく

ということであって、ｘがaに完全に一致したわけではなく

f(x)がf(a)に完全に一致したわけではないと考えています。

それなのにどうして「lim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である」と

xがaに完全に一致したごとくのようにいえるのでしょうか？

f(a)が場合によっては特異点のように、なだらかなグラフから飛び出ることもありえるので、

その場合関数が連続していないことがあるのではないかと考えてしまいます。

ε-δ論法を何度繰り返して考えてみても、分かりません。

分かりやすく、くどくなってもいいので、詳しく、やさしく教えていただければうれしいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

noname#152422 · ベストアンサー

> 「すべてのε>0、δ>0を満たすδが存在する s.t. 0<|x-a|<δ => |f(x)-f(a)|<ε
>
> このときlim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である。」

これは書き間違いだと思います。教科書をもう一度確認してみてください。

> 0<|x-a|<δ ということはｘがaに限りなく近づく

違います。aとxとの距離がδより小さいということを言っているだけであって、「ｘがaに限りなく近づく」なんてことは言っていません。

> |f(x)-f(a)|<ε ということはｆ(x)がf(a)に限りなく近づく

違います。f(a)とf(x)との距離がεより小さいということを言っているだけであって、「f(ｘ)がf(a)に限りなく近づく」なんてことは言っていません。

> ｘがaに完全に一致したわけではなく
>
> f(x)がf(a)に完全に一致したわけではないと考えています。

その通りです。

> xがaに完全に一致したごとくのようにいえるのでしょうか？

それは誤読です。理由はその前にあなたが書いた通り。

あなたが質問している命題のキモは、「∃δ」の部分です。”εに応じて”δを決められるっていうことです。εと無関係にδを選ぶわけじゃない。

それに、xとaが近いとか、f(x)とf(a)が近いとか思わない方がいい。

高校のときに習ったであろう「限りなく近づく」という言葉は抹殺して忘れたほうがいい。また、高校のときの”極限計算”の実態は、適当に変形したあとx=aを代入するということでしかなかったはずです。これらは理解の邪魔でしかない。高校時代の知識は全部ゴミ箱に捨ててしまいましょう。

εに応じてδを決められるという感覚は、fやaを具体的に与えて手を動かして計算することによって段々分かってくると思います。

下で参考文献を出している回答がありますが、自分もそれを読んだ人間の一人です。しかし、それを読めば何も考えずにわかるようになるわけじゃなくて、結局自分で考えるしかないです。そこは自力で乗り越えるしかありません。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>「すべてのε>0、δ>0を満たすδが存在する s.t. 0<|x-a|<δ => |f(x)-f(a)|<ε
>このときlim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である。」

初学者の方でしょうか？　上の式を厳密に書くと

ε>0、δ>0 を前提とし

∀ε ∃δ ∀x [0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε]

です。これは、任意の ε に対し、σが存在し、全ての x に対して
[0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-f(a)|<ε] を真にすることが出来る。

ですが、上の論理式で ∀x を落として考えていませんか？　

初学者がよく陥る誤りです。

回答No.2

OurSQL

>「すべてのε>0、δ>0を満たすδが存在する s.t. 0<|x-a|<δ => |f(x)-f(a)|<ε
>このときlim(x->a) f(x)=f(a) となって f(x)はx=a で連続である。」
教科書には、この通りには書かれていないはずです。
教科書に書いてあることを、あなたが「翻訳」したのだと思いますが、完全な誤訳です。
質問文全体を読んだ感想として、御自身で述べておられるように、ε-δ論法の基礎が理解できていないようです。
誤訳をしてしまった原因も、基本が分かっていないからでしょう。

＞ε-δ論法を何度繰り返して考えてみても、分かりません。
まだまだ、考える回数が不足していると思われます。
理解できるようになるまで、回数制限なしで考える以外に解決方法はありません。
たぶん、教科書以上に詳しい説明をするのは、誰にも難しいでしょう。
しかし、教科書にも良書とそうでないものとがありますので、一応お勧めの書籍を挙げておきます。

「イプシロン－デルタ、田島一郎、共立出版、1,470円」

ε-δ論法に苦しんでいる学習者にとって、おそらく最良に近い参考書だと思います。

回答No.1

notnot

＞f(a)が場合によっては特異点のように、なだらかなグラフから飛び出ることもありえるので、

なだらかでなく段差なり飛び出ていれば、その差より小さくεをとれば、その場合 条件を満たすδが存在しません。

と言うことがわかりますか？わかるならその対偶をとると、

「任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して、 |x-a|<δを満たすすべてのxについて |f(x)-f(a)|<ε」
が成り立っている限り、段差や飛び出しが無いことになります。