連続性の問題

質問

関数f(x)をf:R→Rで一対一対応かつすべての実数において連続性がある関数とする。
またf(x0)=x0（エックスゼロ）となる点が存在し(つまり不動点）、すべてのf(x)において、f(2x-f(x))=xであるとして、 f(x)≡xを示す。という問題なんですが、
まず合同って何を法ってことなんでしょうか？これはミスプリと考えるのがいいのでしょうか？まあいちおうf(x)=xが十分条件なのでそれを示そうと思い、
1)すべてのxで、f(x)=xであれば終わり
2)f(x)=xでないxが存在するとして、その集合をSとする。
a)Sの要素でlim{h→0}a+hがSに含まれていない要素aに注目する。f(a)≠aであるため、f(a)=a+r (r 　　　は０以外の実数）とおける。ここで、数列Xn=a+(1/2)^nを考える。lim{n→∞} Xn→aであるが、
　　　lim{n→∞} f(Xn)→f(a)とはならないので、連続性がないという矛盾が生じるため、条件をみたす　　　aは存在しない。
　　b)Sの要素でlim{h→0}a+hがSに含まれていない要素aがないばあいSの要素でlim{h→0}a-hがSに　　含まれていない要素aを考えて、数列Xn=a-(1/2)^nを考える。あとはaと同じ

a),b)よりf(x)≠xをみたす実数xは、存在しない。よってすべてのxにおいてf(x)=x

と考えたのですが、f(2x-f(x))=xを使ってないですし、解説にはデルタイプシロン論法を使った解法が載っているのですが、この考え方は間違っていますか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

> すべてのf(x)において、f(2x-f(x))=xである
じゃなくて「すべてのx∈Rにおいて、f(2x-f(x))=xである」だと思えば、話は通じるようです。

　教科書にε-δ論法を使う解答が載っている、ということですんで、他のアプローチを考えたいですね。まずは何が起こっているのか直感的なイメージを作って、話の骨格を眺めてみましょう。

　不動点のことはとりあえず忘れることにします。fは1:1対応なので逆関数gが存在します。条件より、
　　(f(x)+g(x))/2 = x
　だから、見やすくするために
　　h(x)=x-f(x)
とおくと、
　　f(x)=x-h(x), g(x)=x+h(x)
です。
　xを一つ決めると、y=f(x)のグラフ(FIg1破線。見えるかな？)上の点<x, f(x)>=<x, x-h(x)> (Fig1黒●）が決まり、するとy=g(x)のグラフ(Fig1一点鎖線)上の点<x, x+h(x)>が決まり、x軸とy軸を入れ替えた<x+h(x), x>は再びfのグラフ上の点であり、そして<x-h(x), x>もgのグラフ上の点である(Fig1○）。これらは正方形の頂点です。
　この操作を繰り返して行けば、任意の整数nについて<x+n h(x), x+(n-1)h(x)>は全てfのグラフ上の点であり、<x+n h(x), x+(n+1)h(x)>は全てgのグラフ上の点であると決まります。これらはxを一つ決めただけで決まってしまう訳です（Fig2○）。
　さてそこで、x+t (t＞0)ではどうなるかを考えます（Fig3赤●)。すると、同様にfのグラフ上の点とgのグラフ上の点が沢山決まります（Fig3赤○）。ここで、図では黒○と赤○が上下にぴったり並ぶという現象（Fig3緑□の部分）が発生しています。これは「f(x)が1:1対応になっていない」ということを意味していますね。
　でも、もし
　　P:　f(x)=x-h, g(x)=x+h (hは定数）
が成立つならば、こういう現象が起こらないのは明らかです。
　ということは、もし
　　Q:　Pでないならば、tをうまく選ぶと、こういう現象が必ず発生する
ということが言えるのなら、f(x)が1:1対応になるためにはPが必要かつ十分だと分かるでしょう。で、fが不動点を持つためにはh=0です。
　以上が話の骨格です。

　次に、Qについてもう少し詳しくイメージしましょう。xを固定し、
　　H(s) = h(x+s)
と書く事にして、あるzについてH(z)＞H(0)（つまり点<x+z, f(x+z)>はFig2,3の黒の破線上にない）とします。あるt (0≦t≦z)について、x(Fig3黒●)から右にn+1個目の黒○で「上下にぴったり並ぶ」現象が生じるとしますと、
　　(n+1)H(0)=nH(t)+t
より
　　(H(0)-t)/n = H(t)-H(0)
です。この関係が成立つn, tが存在する条件とは、y=H(t)-H(0) (0≦t≦z)のグラフ(Fig4黒線)と、y=(H(0)-t)/n (n=±1,,±2,…)のグラフ(Fig4青線)のどれかとが交点（Fig4緑の○）を持つことに他なりません。そして、H(z)＞H(0)でH(t)が連続なら、必ずどれかと交差することはグラフから明らかでしょう。（だから、この部分の証明には連続関数の性質が使えます。）
　H(z)＜H(0)の場合もちょっと手直しすれば同様の結論が得られます。

　もちろん、以上は厳密な議論にはなっていませんから、キッチリ書き直す必要があります。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。　本当によくわかりました。（完璧でないですが、大筋をつかむことはできました）　あんまり本題と関係なくなってしまうんですが、こういう問題はどういうことをしてたらstomachmanさんみたいにさらっと解けるようになるのでしょうか？

回答No.3

hrsmmhr

あまり得意でない話なのですが…
書かれた証明は、その点aまでf(x)=xである場合にのみ有効であって
ある点bから連続性を維持して別の関数になる場合（たとえばx<=bでf(x)=x）の、
　　a=b+h (h>0)
のような点aではa∈Sはいえないと思います

回答No.2

alice_44

lim[h→0]a+h とか lim[h→0]a-h とかって、
要するに、a のことでしょう？
S の元 a が S に含まれない場合なんて、
考えてみるだけ無駄です。
その証明では、lim[h→0]a+h と lim[h→0]a-h が
両方とも S に含まれる場合(実は常にそうなる)を
全く検討してないですしね。

f(2x-f(x))=x 無しでもよいのなら、
f(x)≡2x なんてのが反例になってしまいます。
やはり、f(2x-f(x))=x は使わないと。
ここで ≡ は、剰余とは関係がなく、
恒等的に等しい…　∀x,f(x)=2x の意味です。

お礼

なるほど。じゃあ僕は結構見当違いなことをやっていたわけですね。教科書の方法でとかないと（少なくともこの方法では）無理そうですね。回答ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

解法を見る以前に、質問の文章がいささかへんてこです。「すべての実数において連続性がある関数」とは何の事？「すべてのf(x)において」ではその後に話が繋がらないようですが？

　なお、
　　f(x)≡x
はおそらく「合同」じゃなくて、「f(x)が恒等的にxと等しい」、つまり
　　∀x(x∈R → f(x)=x)
の（いささか古いスタイルでの）略記法でしょう。

>　解説にはデルタイプシロン論法を使った解法が載っているのですが

　もしかしてlimって何の事だか分からずに使っているんですか？

お礼

>解法を見る以前に、質問の文章がいささかへんてこです。
教科書が英語なんで日本語訳にしたのですが、日本語のテキストをあまり読んだことがないのでへんてこになりました。わかりにくくてごめんなさい。　原文はSuppose that f:R→R is a one-to-one continuous function with a fixed point...といった具合です。

出版年をしらべたら確かに古い教科書でした。

>もしかしてlimって何の事だか分からずに使っているんですか？
多分数学を大学などでしっかり勉強した人にくらべたら理解が浅いと思います。単純にたとえばlim{x→0}としたら　(表記が間違っていたらごめんなさい）この後に続く式にあるxを限りなく0に近づけるということだと理解しています。