同値である証明が何回やってもわかりません。

質問

何回やっても同値になりません。結果はわかっているのに証明ができなくて困っています。

　実数で定義された関数f(x)に対して、以下の二条件は同値である。
(a)有限な極限値 limf(x)が存在する。
(b)limxn=∞　を満たす任意の数列{xn}に対しlimf(xn)が存在する。
limとの下は(a)ではx→∞、(b)ではn→∞

回答No.3

funoe · ベストアンサー

イメージは掴めていますか？

まず、どのようなことを示そうとしているのかを「直感的に」把握しましょう。

ａ）→b）
x→∞で、有限な極限値 limf(x)（＝α）が存在する　ってことは、
とてもおおきいＭがあって、そのMより大きいところ（M<ｘ）では、f(x)≒αってことですね。

一方、
n→∞で、limxn=∞ってことは、Xnは、いつかは「とても大きくなる」ってことですよね。

てことは、ある番号から先のｎでは、Mより大きくなるってことですね。

まとめると、
「Xnはある番号から先のｎでは、Mより大きくなる」
「Mより大きいｘで、f(x)≒α」
なら、「limf(xn)は→α」になりそうじゃないですか。

ｂ）→ａ）
特に、Xn＝ｎとしたときでも、limf(xn)が存在するっていうんだからそれをαとしましょう。
その上で、
対偶「 limf(x)はαに収束しない」→「limxn=∞　を満たすある数列{xn}に対しlimf(xn)が存在しない。」
を示せばよいわけです。
「 limf(x)はαに収束しない」なら、いるまでもαから離れた値をとることがあり続けるわけで、
そのような値をとるXを選んでXnをつくればよいわけです。

直感的な理解をせずにε-δを振り回すと、近い将来「全くわからなく」なります。

お礼

ありがとうございます。実際ε-Ｎ論法まではイメージができていたんですが・・・急にイメージができなくなってしまって・・・アドバイスもらってすごくありがたいです。ですが、イメージ的にやりたいこと？は何となく。。。

回答No.2

koko_u_

まずは ε-δ論法の復習からやって下さい。

お礼

ヒントありがとうございます。
ε-δ論法の問題だったんですね。

補足

(a)はε-δ論法の公式？の証明をしているんですか？よくわからなくて。。。

回答No.1

koko_u_

>結果はわかっているのに証明ができなくて困っています。
普通、証明ができなければ結果がわかっているとは言いません。

>何回やっても同値になりません。
何をどう何回もやったのかわかりませんが、cLoveR-1 さんの解答を補足欄にどうぞ。

補足

申し訳ありません。
結果は問題を見てわかってる気になってました。

(a)の極限は関数についてだと思ったので、関数の極限が収束するなどのこと、(b)は自分よくわからなっかたのでいままでやってきた数列？の定義を片っ端からいれていきました。
何回も同じようなことしかしていません。申し訳ありません。