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数列の証明
大学の課題で出された数列の証明問題です。 レベルは恐らく高校くらいだと思います。 数列が苦手で、どうしてもわからないので質問します。 正の実数ａ、ｂ（ａ＞ｂ）に対して、数列｛ａ(n)｝｛ｂ(n)｝を ａ(0)＝ａ、 ｂ(0)＝ｂ ａ(n+1)＝(ａ(n)＋ｂ(n))／２、 ｂ(n+1)＝√ａ(n)ｂ(n) （ｎ≧0） で定義されるものとする。この時、 １、｛ａ(n)｝が単調減少であること、｛ｂ(n)｝が単調増大であることを示せ。 ２、｛ａ(n)｝が単調減少かつａ(n)≧ｂ、｛ｂ(n)｝が単調増大かつｂ(n)≦ａより、｛ａ(n)｝および｛ｂ(n)｝は収束する。この時、｛ａ(n)｝の極限値と｛ｂ(n)｝の極限値が一致することを示せ。 解答・解説できる方、よろしくお願いいたします。
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みんなの回答
- 回答No.2
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
任意の n について、a(n) > b(n) であることを言えば、 a(n+1) = { a(n) + b(n) } / 2 から a(n+1) < a(n) が、 b(n+1) = √{ a(n) b(n) } から b(n+1) > b(n) が 言えます。 「単調増加」「単調減少」が広義単調でよいならば、 相加相乗平均の関係から a(n) ≧ b(n) が言えますから、 それだけで終わりですが、 狭義単調であることまで含めて示そうとすれば、 数学的帰納法を使って、a(n) ≠ b(n) を言う必要があります。
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- 数学・算数
- 回答No.1
- oyamala
- ベストアンサー率40% (8/20)
(1)は数学的帰納法で示せますね。 具体的には、任意のnに対してa(n) > b(n) かつ a(n+1) < a(n) かつ b(n+1) > b(n)を帰納法で示します。 (2)は、a(n)とb(n)の極限をそれぞれα、βとでもすれば、 n→∞のとき、a(n+1) = a(n)の式から、 (α＋β)/2 = α となり、α = βがいえます。
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