単調数列の証明問題です

質問

自分なりに、以下の単調数列の証明問題を解いてみました。
間違いがあれば、ご指摘いただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

【問題】
数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列であるか？
理由とともに、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるか
についても求めよ。

【証明】
まず、単調増加であるかについて証明する。
(n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。
これにより、1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(n+1)は単調増加である。
よって、1-{2/(n+1)}も単調増加であることが証明される。

次に有界であるかについて証明する。
n→∞とするとき、{1-(1/n)}/{1+(1/n)}→1となる。
よって、1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0とあらわすことができる。
ゆえに、数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列である。
証明終わり。

回答No.2

koko_u_ · ベストアンサー

うーむ。伝わらんかった。

数列が収束することと、有界であることは別の概念です。
今の問題では収束性の証明は求められていないので書くだけ無駄です。

学校の試験問題だと、不要な記述は定義がわかっていないととらえられて、減点される可能性があります。
また、有界性の証明を求められている場合は、下に有界であることについての言及も必要です。
明らかだからといって書かないとこれも減点されるでしょう。

お礼

たびたびのご指摘、ありがとうございます。
おっしゃるとおり、収束と有界の概念をごっちゃにして考えていました。丁寧に解説していただきよくわかりました。
不要な証明を削除し、以下のようにまとめました。
これでOKでしょうか？

【証明】
まず、単調増加であるかについて証明する。
(n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。
これにより、1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(n+1)は単調増加である。
よって、1-{2/(n+1)}も単調増加であることが証明される。
∴数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列である。
証明終わり。

回答No.1

koko_u_

>n→∞とするとき、{1-(1/n)}/{1+(1/n)}→1となる。
>よって、1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0とあらわすことができる。

この「よって」のつなぎがわかりません。
単に「1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0 だから上に有界」でよいのでは？

お礼

ご指摘ありがとうございます。
以下のように訂正しました。これでよくなっているでしょうか？

【証明】
まず、単調増加であるかについて証明する。
(n-1)/(n+1) = {(n+1)-2}/(n+1) = 1-{2/(n+1)}と変形させる。
これにより、1より小さいことがわかる。
また、2/(n+1)は単調減少であるため、-2/(n+1)は単調増加である。
よって、1-{2/(n+1)}も単調増加であることが証明される。

次に有界であるかについて証明する。
n→∞とするとき、{1-(1/n)}/{1+(1/n)}→1となる。
1-(n-1)/(n+1) = 2/n+1 > 0だから、上に有界。
∴数列{(n-1)/(n+1)}{n=1,2,3,...}は有界な単調数列である。
証明終わり。