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単調に増加する数列の極限について
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- HANANOKEIJ
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岩波書店「解析概論」の10ページから11ページにかけて、「デデキントの定理、ワイエルシュトラースの定理、有界な単調数列の収束、区間縮小法は、実数の連続性について、同等である」と書いてあります。 「解析概論」では、デデキントの定理を、出発点(公理)として、証明なしで与えられたものとしてスタートします。すると、「単調に増加する数列：{an} が上に有界ならば，極限 an＝α が存在する」というワイエルシュトラースの定理は、証明することができます。 しかし、ワイエルシュトラースの定理を出発点(公理)として、残りの三つの定理を証明することもできるのです。 詳しくは、現代数学社「ε-δに泣く」石谷茂著、を読んでみてください。 70ページ前後にでてきます。 http://www.gensu.co.jp/book_print.cgi?isbn=978-4-7687-0366-3
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
デデキントの公理という実数の連続性から導かれる定理です。 デデキントの公理とは、実数全体をA、Bの２グループにに分け、 任意のAの元aと任意のBの元bに対して、a<bであるとき、Aに最大値が 存在するか、Bに最小値が存在するかのどちらかであるというもの。 これより、実数の集合が上に有界ならば、上限が存在するということが いえ、さらにこれから、単調増加数列で上に有界ならば収束するという ことがいえる。 具体的には、anが上に有界ならば、上限αが存在する、すなわち、 an<α。 任意のε>0に対して、α-ε<am<αとなるamが存在する。（上限の定義 より） すると、anが単調増加なことから、 α-ε<am<a(m+1)<a(m+2)<…<α つまり、anはm以上の番号では、α-εとαの間に収まる。 これは、anはαに収束することを意味する。
お礼
ご回答ありがとうございます！
- koko_u_
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>というのは、証明できるのでしょうか？ 実数列ならね。 >自明のものとして用いてよいのでしょうか？ 高校生までなら。 まあ、高校数学でこんな問題は出ないと思いますけど。
お礼
ご回答ありがとうございます！
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