数列は単調増加かどうか調べる方法とは？
- 数列{an}={（1+1/n）^n}は単調増加数列かどうか調べる方法について解説します。
- 数列を単調増加させるための条件や数列の比の計算方法について詳しく説明します。
- また、ベルヌーイの不等式を使う理由や、比が1以上の場合の判定方法についても解説します。
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数列 単調増加
数列 単調増加 問題．数列{an}={（1+1/n）^n}は単調増加数列かどうか調べよ。 解答の抜粋を以下に示します。 an=（1+1/n）^n=（n+1/n）^n an-1=（1+1/n）^n-1=（n/n-1）^n-1 この比を調べて1より大きいか小さいかで単調増加数列かどうか調べる。 an/an-1 =（（n+1/n）^n）（n-1/n）^n-1 =n/n-1（（n+1/n）（n-1/n））^n =n/n-1（n^2-1/n^2）^n ≧n/n-1（1+n（（n^2-1/n^2）-1））→ベルヌーイの不等式 =n/n-1（n-1/n）=1 ベルヌーイの不等式をなぜ使っているのでしょうか？ また、ベルヌーイの不等式以下の=n/n-1（n-1/n）=1 がまったく理解できません・・・ （n-1/n）はどこから出て来たのでしょうか？ 解答では、an/an-1の比を調べていますが、これは 比が1以上（1を含む）ならば単調増加数列という事でしょうか？ 比が1より小さければどのような数列となるのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
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「ベルヌーイの不等式」は、このバージョンらしい。 (1 + x)^m≧ 1 + mx ： 整数 m≧0, 実数 x≧-1 これで、 {(n^2 - 1)/n^2}^n = {1 + {(n^2 - 1)/n^2 -1}^n ≧ 1 + n{(n^2 - 1)/n^2 -1} = 1 + n - 1/n - n = 1 - 1/n = (n - 1)/n が成立。 目出度く Q.E.D. か？ {n/(n-1)}{(n^2 - 1)/n^2}^n ≧ {n/(n-1)}(n - 1)/n = 1 「比が1以上（1を含む）ならば単調増加数列という事でしょう」ね。
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お礼
ご回答ありがとうございます。 理解出来ました。