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微分積分の問題です。実数列{an}は、単調増加で上

微分積分の問題です。実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。... 実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。この{an}の上限をαで表す。したがって、 ・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、 ・任意の自然数eに対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。 以下の3つの設問に答えよ。 (1)数列{an}の極限値はαであること、すなわち、任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在することを示せ。 (2)数列{an}は、an = 1 - 1/n であれば単調増加で上に有界となることを示せ。 (3)設問(2)で与えた数列{an}の極限値αを求めよ。このαに対し、n > N のときに|an-α| < 0.001を満たす最小の自然数Nを計算せよ。 この問題の解説をどなたかよろしくお願いします。

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・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、 ・任意の自然数eに対してaN>α-e となる自然数Nが存在する。 はαが{an}の上限である事の必要条件だけれども十分条件ではありません。 例) an=(1/2)-(1/n) α=1 とすると 任意の自然数eに対して e≧1 e-(1/2)≧1/2>0 N>2≧1/{e-(1/2)}となる 自然数Nが存在する。 e-(1/2)>1/N aN=(1/2)-(1/N)>1-e となる 自然数Nが存在する。 an=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)は1/2だから 1はan=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)でない ・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、 ・任意の正実数e>0に対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。 がαが{an}の上限である事の必要十分条件です。 (1) 数列{an}の極限値はαであるとき 任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在しません e=-1のとき常に|an-α|>-1=eとなるから「任意の整数e」は誤りです。 任意の正実数e>0に対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在すること が数列{an}の極限値はαであることの定義です。 αが{an}の上限だから 任意の正実数e>0に対してaN>α-eとなる自然数Nが存在する。 n>Nのときには{an}が単調増加だからan>aN α-e<aN<an≦α α-e<an≦α α-an<e,0≦α-an 0≦α-an<e ∴ |an-α|=α-an<e (2) 自然数n,mに対して n<mのとき両辺をmnで割ると 1/m<1/n 両辺に1-1/n-1/mを加えると 1-1/n<1-1/m<1 an<am<1 1は{an}の上界 ∴ {an}は単調増加で上に有界 (3) 任意の正実数e>0に対して N>1/eとなる自然数Nが存在する n>Nとなる任意の自然数nに対して |an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N<e だから ∴ α=lim_{n→∞}an=1 e=0.001とすると N≧1/e=1/0.001=1000 N≧1000 n>N=1000 |an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N=0.001 だから N=1000

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  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

(1) これが本当に解らないんですか? 問題の仮定から、n>N のとき α≧an>aN>α-e ですが、 これを |an-α|<e と見比べて、何か感じませんか。 (2) 「単調増加」と「上に有界」の意味を確認してください。 n>m のとき an>am であることと、 任意の n に対して an≦β となる β があること を示せばよいです。β は、具体的にひとつ挙げれば十分です。 β は、上界のひとつであれば、上限でなくて構いません。 (3) 今回は、上限 α を挙げなければならないのですが… 論証の細部は別として、α=1 であることは、普通、判りますよね? ここは、直感で見つけないと。 不等式 |(1-1/n)-1|<0.001 を解くのは、難しくないと思います。

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