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数列
数列{an}がa1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n=1,2,3,……)で与えられている。 (1)bn=an+1-anとおき、bnをnの式で表せ。 (2)anをnの式で表せ。 解答 (1)bn=2^n (2)an=2^n-1 与えられている数列の2項間の関係に目を向ければいいのは 分かるのですが、どこから手をつけたらいいか分かりません。 途中式含めて解説よろしくお願いします！
- yariyari80
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隣接3項間の特性方程式m^2=3m-2より m^2-3m+2=0 (m-1)(m-2)=0 m=1,2 よって、漸化式a[n+2]=3a[n+1]-2a[n]は次の2とおりで表わせます。 a[n+2]-a[n+1]=2(a[n+1]-a[n]) …… (1) a[n+2]-2a[n+1]=a[n+1]-2a[n] …… (2) (1)より、数列{a[n+1]-a[n]}は、初項2、公比2の等比数列 a[n+1]-a[n]=b[n]=2・2^(n-1)=2^n …… (3) これが、設問(1)の答え (2)より、数列{a[n+1]-2a[n]}は、初項1、公比1の等比数列 a[n+1]-2a[n]=1 …… (4) (3)-(4)より、 a[n]=(2^n)-1
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