数列の問題

質問

次の数列の問題の解答をお願い致します。

2つの数列{an},{bn}は、a1=5,b1=2で、
漸化式(n=1,2,3,…)
an+1=4an-3bn
bn+1=2an-bn 　をみたす。

a1=アイ,b1=ウ　である。

数列{cn}をcn=an-bn(n=1,2,3,…)を定めると、
数列{cn}は　cn+1=エcn　をみたす。

よって、数列{cn}の一般項は
cn=オ・カ^n-1　である。

また、pを定数とし、数列{bn}をdn=an-pbn(n=1,2,3,…)と定める。
すべての自然数nについて、dn+1=dnが成り立つのは
p=キ/ク　のときであり、このとき数列{dn}の一般項は
dn=ケ　である。

以上より、数列{an},{bn}の一般項は、それぞれ
an=コ・サ^n-1-シ
bn=ス・セ^n－ソ　　である。

さらに、数列{anbn}の初項から第n項までの和∑akbkは
タ・チ^2n+1-ツテ・ト^n+2+ナニn+ヌネ　となる。

アイ=14、ウ=8、エ=2までは解けたのですが、
以降、行き詰っています。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

a1=5,b1=2
a(n+1)=4an-3bn
b(n+1)=2an-bn

a2=4a1-3b1=20-6=14
b2=2a1-b1=10-2=8

cn=an-bn(n=1,2,3,…)
c1=a1-b1=5-2=3
c2=a2-b2=14-8=6=2*c1

c(n+1)=a(n+1)-b(n+1)=2an-2bn=2(an-bn)
=2cn
=2*2c(n-1)=(2^2)c(n-1)=…=(2^(n-1))c2
=6*2^(n-1) …(☆)

dn=an-pbn(n=1,2,3,…)
d(n+1)=dnが成り立つのは
d(n+1)=a(n+1)-pb(n+1)=(4an-3bn)-p(2an-bn)=2(2-p)an-(3-p)bn
dn=an-pbn
d(n+1)=dnとなる時
2(2-p)=1,p=3-p　∴p=3/2
p=3/2の時　d(n+1)=dn
dn=d(n-1)=…=d2=a2-(3/2)b2=14-(3/2)8=14-12
　=2　…(★)
(☆),(★)から
an-bn=3*2^(n-1) …(1)
an-(3/2)bn=2　…(2)
an,bnについての連立方程式を解けば
an=9*2^(n-1) -4
bn=3*2^n -4

an*bn=27*2^(2n-1)-30*2^n+16=(27/2)4^n -30*2^n+16
∑[k=1,n] akbk =(27/2)∑[k=1,n] 4^k -30∑[k=1,n] 2^k +16∑[k=1,n] 1
=(27/2)*4{(4^n)-1}/(4-1) -30*2{(2^n)-1}/(2-1) +16n
=18{(4^n)-1}-60{(2^n)-1}+16n
=9*2^(2n+1) -15*2^(n+2) +16n+42

後は式中からカタカナの該当箇所を抜き出して下さい。

お礼

迅速なご回答、ありがとうございました。
また数学系の機会がありましたら、よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

>a1=5,b1=2で
と与えられていて

>a1=アイ,b1=ウ　である。
>アイ=14、ウ=8、
とはどういうことでしょうか？
問題のどこか転記ミスがありませんか？

補足

失礼いたしました。
a2=アイ,b2=ウ　の間違いでした。

ご指摘いただき、ありがとうございます。