• 締切済み

数列の問題です。ヒントをください

【問題文】 nを自然数として、２つの数列 Ａn=2^n Ｂn=3n+2 について｛Ａn｝の項のうち｛Ｂn｝の項であるものを小さい順に並べることで得られる数列を｛Ｃn｝とする。 ｛Ｃn｝は等比数列であることを示せ。 自分は まず基本通りＣ1から順にＣ4くらいまで書き出していきました。その際、Ａn=2^nだから、Ｂn=3n+2=2｛(3n/2)+1｝として｛(3n/2)+1｝が2^kのような形になるように気をつけました 結果は Ｃ1=8=2^3 Ｃ2=32=2^5 Ｃ3=128=2^7 Ｃ4=512=2^9 やはり等比になっているけれど ここからどうしようか悩み、帰納法でやってみようかと思い Ｃn=8・4^(n-1)(nは自然数)…(※) と推定し (I)n=1の時、(※)は明らかに成立 (II)n=kのとき(※)が成立すると仮定し、この仮定下でn=k+1のときも(※)が成立することを示したい …けどどうやって？ となりました Ａnの項のうちＢnの項であるものをがＣnといっても そうなるときのnの値は全てばらばらだし… それ以前に方針が間違っているのでしょうか？

みんなの回答

  • stomachman
  • ベストアンサー率57% (1014/1775)
回答No.5

X = { x | ∃p(pは整数 かつ x=2^p) かつ ∃m(mは整数 かつ x=3m+2)} という集合の要素を小さい順に並べたものが求める列Cである。(「∃z(....)」は「あるzが存在して、(....)が成立つ」と読みます。） 　そこで例を作ってみて、 　　C[1]=2^3=3×2+2, C[2]=2^5=3×10+2, C[3]=2^7=3×43+2, C[4]=2^9=3×170+2, ... となってることを見つけた。どうやら、 　　C[n] = 8×4^(n-1) になっているようだ。 と、ここまでやった。 そこで帰納法を使いたいと仰る。 > (I) n=1の時、(※)は明らかに成立 　いやいや、明らかじゃないでしょう。 　証明しなくてはならないのは「集合Xの最小の要素が8であること」です。だから、「8が集合Xの要素であること」を示すだけではまだ不足です。 　（幸い、Xの要素が全て自然数であることは自明なので）「0?7がどれも集合Xの要素でないこと」を証明すればいいですね。 > (II)n=kのとき(※)が成立すると仮定し、この仮定下でn=k+1のときも(※)が成立することを示したい 　ということは、「「Xの要素のうちで、C[k]よりも大きいもの」のうちで最小のものはC[k+1]だ」という事を証明するんです。 　だから、C[k+1]∈X（つまり、C[k+1]=3m+2 となる整数mが存在し、かつC[k+1]=2^pとなる整数pが存在すること)を証明するだけではなく、さらに、C[k]＜s＜C[k+1]であるような自然数s全てについて、sがXの要素ではない（つまり、s=3m+2 となる整数mが存在しないか、あるいはs=2^pとなる整数pが存在しないか、少なくとも一方が成立つこと）を証明する必要があります。

Kurasaki
質問者

お礼

自分もそれを思いました 帰納法だと、最初の自分のやり方は明らかに変だと感じました 帰納法でできたとしても明らかに大変 そこで いろいろわかっていることを考えてみると 少なくともＡnとＣnはなにか関連づけることができるのではないかということと 問題文で『等比数列であること証明せよ』という微妙な言い回しがきになりました しばらくして 『そもそもＣｎを基準に考えている時点でおかしいのでは？ Ｃnが等比ということを示すのではなく、Ａnの項がＢnに等比的に含まれていることを示せばいいのでは？』 となりました そこで Ａnの項でＢnに含まれるものを並べていくと 2^3 2^5 2^7 2^9 2^11 ・ ・ ・ 明らかにＡnにおいては『奇数項のとき』Ｂnに含まれるものがある ところで Ｂn=3n+2 一方 Ａn=2^n ………ＡnをＢnに関連づけられないか？となり、無理やり3を出現させるとしたら… Ａn=(3-1)^n か… 展開したら Ａn=3^n+nＣ1｛3^(n-1)｝(-1)+…………nＣ(n-1)3・(-1)^(n-1)+(-1)^n すなわち Ａn=３×【整数】+(-1)^n nについて倍数わけすると Ａnは nが偶数だと3で割った余りが1 この商をＮ(自然数)とすると Ａｎ=3Ｎ+1 nが奇数のときは、3で割った余りが2 Ａｎ=3Ｎ+2 よってＡｎにおいてＢｎに含まれてるものが、奇数間隔で存在する すなわち Ｃｎは等比が４、初項が８の等比数列

  • hrsmmhr
  • ベストアンサー率36% (173/477)
回答No.4

8は3*2+2 4は3*1+1 n=kで3*l+2なら n=k+1の(3*l+2)*4=(3*l+2)*(3*1+1)は？ 帰納法の証明はそうですが4倍の間の2倍が3*l+2ではないことも言わないと…

  • 87c567d7
  • ベストアンサー率0% (0/2)
回答No.3

すみません。間違えました。 調べる数を、もう１つ増やして割った値が両方同じか調べてください。

  • 87c567d7
  • ベストアンサー率0% (0/2)
回答No.2

(I)n=1,n=2の時割り切れるかどうかを判定 (II)n=k,n=k+1の時割り切れると仮定し、n=k+1,n=k+2の時も調べる。

回答No.1

単純にやっちゃってください。 >Ａnの項のうちＢnの項であるものをがＣnといっても >そうなるときのnの値は全てばらばらだし… そりゃそうです。 AnとBnとCnのnは全て違うnですから。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 数列の問題なのですが・・

    等差数列an＝３ｎ－２１、ｂｎ＝９（ｎ＾２－１０ｎ＋２１）がある。ｒは実数とする。 数列ｃｎはｃ１＝１４０、ｃ４＝－２３をみたし、数列ｂｎに対して数列｛ｃｎ－ｂｎ｝ は公比ｒの等比数列となる。このときのｒの値は？ また、ｃｎ（ｎ＝１，２，３・・）の最小値は？そしてｃｎの初項から第ｎ項までの和 をＵｎとするとＵｎ（ｎ＝１，２，３・・）の最小値は。 考え方と解き方が分かりません。 詳しい解説をどうぞよろしくお願いします。

  • 数列の問題です。

    aを正の実数とする。等差数列{bn}と等比数列{cn}の初めの４項は、 b1=c1=a, b2=c2, b3≠c3, b4=c4 を満たすものとする。 (1)数列{bn}と{cn}の一般項を求めよ。 (2)等式Σ(k=1→n)k/2^k=2-(2+n)/2^nが成り立つことを示せ。 (3)Σ(k=1→n)bk/lckｌ　を求めよ。 という問題です。(1)は解けました(bn=-3an+4a, cn=a(-2)^(n-1)になりました…)。 (2)以降が分からないのですが、和を分母をそろえて計算してみたりしたのですが、うまく証明できません。 また、(3)では絶対値をどのように扱えばよいのでしょうか？ 教えていただけると、ありがたいです。

  • 数列の問題なのですが

    二つの数列{an},{bn}がある。 数列{an}は等差数列であり、その第4項が25で、第9項が40である。 また、数列{bn}は数列{an}と同じ初項をもつ等比数列であり、その第4項が128である。ただし、数列{bn}の公比は実数とする。 （1）数列{an}の初項はアイ、公差はウである。 　　また、{bn}の公比はエである。 （2）二つの数列{an}と{bn}の両方に含まれる数を小さい方から順に3こ並べると、16、オカ、キクケとなる。 （3）数列{cn}をcn=an・bnで定め、T=Σ(n,k=1)ckとおく。 T-エTを考えることよりTを求めると、 T=(コn+サシ)・（ス）^n+4－セソタとなる。 過去問なのですが全然わかりません。 よろしくおねがいします！

  • 数列の問題

    次の数列の問題の解答をお願い致します。 2つの数列{an},{bn}は、a1=5,b1=2で、 漸化式(n=1,2,3,…) an+1=4an-3bn bn+1=2an-bn 　をみたす。 a1=アイ,b1=ウ　である。 数列{cn}をcn=an-bn(n=1,2,3,…)を定めると、 数列{cn}は　cn+1=エcn　をみたす。 よって、数列{cn}の一般項は cn=オ・カ^n-1　である。 また、pを定数とし、数列{bn}をdn=an-pbn(n=1,2,3,…)と定める。 すべての自然数nについて、dn+1=dnが成り立つのは p=キ/ク　のときであり、このとき数列{dn}の一般項は dn=ケ　である。 以上より、数列{an},{bn}の一般項は、それぞれ an=コ・サ^n-1-シ bn=ス・セ^n－ソ　　である。 さらに、数列{anbn}の初項から第n項までの和∑akbkは タ・チ^2n+1-ツテ・ト^n+2+ナニn+ヌネ　となる。 アイ=14、ウ=8、エ=2までは解けたのですが、 以降、行き詰っています。

  • こんばんはよろしくお願いします。分からない問題がありましたので質問させ

    こんばんはよろしくお願いします。分からない問題がありましたので質問させてください。 公差が1/3、第7項が4である等差数列{an}がある。また、第3項が16、第6項が128である各項が実数の等比数列{bn}がある。 （1）数列{an}の初項を求めよ。また、{an}をnを用いてあらわせ。 （2）{bn}をn用いてあらわせ。 （3）数列{an}の各項の中で整数となるものを小さい順に並べ、 　　C1、C2、C3、・・・・・・・・・Ck,・・・・・・ 　とする。このときCkをkを用いてあらわせ。また、Σ^n_k=0　bkCk をｎを用いてあらわせ。 （1）は　an=1/3n+5/3,(2)はbn=4*2^n-1,とでましたが（3）はまずcnの意味も分からなく 、ましてΣのところは完全に分からないです。 どなたか教えていただけないですか？

  • 数列｛an｝、｛bn｝の共通項から数列作成問題

    よろしくお願いします。 an=8n-2 bn=6n+2 とする。 数列｛an｝と｛bn｝に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列｛cn｝ を作る時、cnの初項と公差を求めよ。 という問題で anの第m項と、bnの第n項が等しくなるから、 8m-4=6n+2 ⇔2(2m-1)=3n これより2と3は互いに素だからn=2k と表せられる。 よってbnのnに2kを代入して、 cn=b2k=6(2k)+2＝12k+2 ゆえにcn=12n+2 と解きましたが間違っておりました。 解答では、 an=8n-2=8(n-2)+14 bn=6n+2=6(n-2)+14 と変形できる。am=bnとすると8(m-2)+14=6(n-2)+14 よって 4(m-2)=3(n-2), m≧2、　n≧2 4と3は互いに素だから、kを自然数として m-2=3(k-1) よってm=3k-1からcnはanの第3k-1項であり、 8(3k-1)-2=24k-10=14+(k-1)*24 したがって初項14、公差２４である。 と解いてありました。 私の解答のどこがいけないのか、解答は一体何をやっているのか を教えて下さい。 よろしくお願いします。

  • 【数列の問題】

    等差数列2,5,8……を{an}、等比数列2,-4,8……を{bn}とする。 数列{an}と数列{bn}との両方に含まれる数を順に取り出してできる 数列{cn}の一般項は？ 答え cn=2^(2n-1) 解ける方がいらっしゃいましたら 解説お願いしますm(_)m

  • 数列を教えて下さい

    数列｛ａｎ｝は初項１の等差数列であり、ａ４＋ａ５＝１６を満たしている。数列｛ａｎ｝の初項から第ｎ項までの和をＳｎとし、数列｛ｂｎ｝、｛ｃｎ｝をそれぞれｂｎ＝１／２（Ｓｎ＋Ｓ（ｎ＋２））（ｎ＝１，２，３，……）、ｃｎ＝√（Ｓｎ×Ｓ（ｎ＋２））（ｎ＝１，２，３，………）によって定める。 （１）ａｎをｎを用いて表せ。→解けました。 ａｎ＝２ｎ－１です。 （２）Ｓｎをｎを用いて表せ。また、ｂｎ、ｃｎをそれぞれｎを用いて表せ。 （３）ｂ１、ｃ１、ｂ２、ｃ２、ｂ３、ｃ３、………、ｂｋ、ｃｋと並べた数列がある。この数列の初項から第２ｍ項までの和をｍを用いて表せ。ただし、ｍ＝１，２，３，………とする。 解答と解説をよろしくお願いします。

  • 数列の問題で質問です

    　初項が２、公比が正である等比数列ａｎの第３項は１８である。また、等差数列ｂｎの第３項は－１９で、初項から第８項までの和は－１１６である。 　（１）数列ａｎの公比を求め、ａｎをｎを用いて表せ。 　（２）ｂｎをｎを用いて表せ。また、ｂｎ＜０を満たす最大の自然数ｎの値を求めよ。 　（３）不等式Σ（ｋ＝１からｎ）　　　ａｋ　＞　Σ（ｋ＝１から２０）　　　｜ｂｋ｜　　を満たす最小の自然数nの値を求めよ。 　いつもお世話になっております。（１）は自力で解いて公比＝３、ａｎ＝２×３＾n－１となりましたが、ここから先が分かりません。その上に（１）にも自信がありません。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

  • 数列について

    数列{an}は初項a,項差dの等差数列であり、数列{bn}は初項a,公比rの等比数列である。 ここで、数列{cn}をcn=an+bnを満たすように定めると、 c1=1 c2=3 c3=7であった。 a=1/2であり {an},{bn}の一般項は an=3n-5/2 bn=1/2(-1)^n-1である。 以下、このときである。 [画像参照] 上の問題続きは、画像を添付をしていますので、そちらをご覧になって頂きたいのですが、シス以降答えがでなくて困ってます。 解き方を教えていただけると嬉しいです。 ちなみに、シス,セソ,タ,チツ,テト,ナニ,ヌネ,ノハヒフ=32,14,6,16,13,-1,-3,-300となっております。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する